习题14.1 1.求下列第一类曲线积分 ()(x+y)d,其中L是以O0),4(10),B(0)为顶点的三角形 (2)yds,其中L为单位圆周x2+y2=1 (y)Jxds,其中L为星形线x23+y23=a3 (4)j「x|ds,其中L为双纽线(x2+y2)2=x2-y2 j(x2+y2+=2)d,L为螺旋线x=ac,y= a sin t==b,051≤27x 的一段 (6)「 xyzds。其中L为曲线x=1,y= 3,z=12上相应于t从0变到1的 段弧 (7)(xy+yz+x)ds,其中L为球面x2+y2+2=a2和平面x+y+z=0的 交线 2.求椭圆周x= a cost,y= bsin t,0≤t≤2的质量,已知曲线在点M(x,y)处的 线密度是p(x,y)=ly 3.求下列曲面的面积: (1)z=axy包含在圆柱面x2+y2=a2(a>0)内的部分 ()锥面x2+y2==2被平面x+y+2=20(a>0所截的部分 (3)球面x2+y2+x2=a2包含在锥面z=√x2+y2内的部分 (4)圆柱面x2+y2=a2被两平面x+z=0,x-z=0(x>0,y>0)所截部分 (5)抛物面x2+y2=2a2包含在柱面(x2+y2)2=2a2xy(a>0)内的那部分 x=(b+acos o)cosp (6)环面{y=(b+ a cos g)sin,0≤≤2x,0≤9≤2x,其中0<a<b ==asin p, 4.求下列第一类曲面积分: ()j(x+y+)ds,其中是左半球面x2+y2+2=a2,ys0; ()jx+y2)d,其中Σ是区域{(xy=√x+y2≤≤的边界 (3)(xy+y2+x)4S,∑是锥面z=√x2+y2被柱面x2+y2=2ax所截部 dS,其中∑是圆柱面x2+y2=a2介于平面z=0与z=H 之间的部分;
习 题 14.1 1. 求下列第一类曲线积分： (1) ∫ + ，其中L 是以 L (x y)ds O(0,0), A(1 0, ), B(0 1, ) 为顶点的三角形； (2) ∫ ，其中L 为单位圆周 ； L | y | ds 1 2 2 x + y = (3) ∫ ，其中L 为星形线 ； L x ds 1/ 3 | | 2 / 3 2 / 3 2 / 3 x + y = a (4) ∫ ，其中L 为双纽线 ； L | x | ds 2 2 2 2 2 (x + y ) = x − y (5) ∫ + + ， 为螺旋线 L (x y z )ds 2 2 2 L x a = cost, y = a sin t, z = ≤ bt, 0 t ≤ 2π ； 的一段： (6) ∫ 。其中 为曲线 L xyzds L 2 3 2 1 , 3 2 2 , z t t x = t y = = 上相应于 从 0 变到 1 的 一段弧； t (7) ∫ + + ，其中 为球面 和平面 L (xy yz zx)ds L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的 交线。 2. 求椭圆周 x a = = cost, y b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π 的质量，已知曲线在点 M( , x y) 处的 线密度是 ρ( , x y) =| y|。 3. 求下列曲面的面积： (1) z a = xy 包含在圆柱面 x y a 内的部分； 2 2 2 + = (a > 0) (2) 锥面 x y z 2 2 1 3 + = 2 被平面 x + y z + = 2a (a > 0) 所截的部分； (3) 球面 包含在锥面 2 2 2 2 x + y + z = a 2 2 z = x + y 内的部分； (4) 圆柱面 x y a 被两平面 2 2 + = 2 x + z = 0 0 , ( x − z = x > 0, y > 0) z 2 2 2 2 + = 2 ) 所截部分； (5) 抛物面 x y a 包含在柱面 内的那部分； 2 2 + = 2 ( ) x y a xy (a > 0 (6) 环面 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = + sin , ( cos )sin , ( cos ) cos , φ φ ϕ φ ϕ z a y b a x b a 0 2 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ，其中0 < a < b 。 4. 求下列第一类曲面积分： (1) ∫∫ ，其中∑是左半球面 ， ； Σ (x + y + z)dS x y z a 2 2 2 + + = 2 y ≤ 0 (2) ∫∫ ，其中∑是区域 Σ (x + y )dS 2 2 {(x y, ,z)| x y z } 2 2 + ≤ ≤ 1 的边界； (3) ∫∫ ，∑是锥面 Σ (xy + yz + zx)dS z x = + y 2 2 被柱面 x 所截部 分； x y a 2 2 + = 2 (4) ∫∫ Σ + + dS x y z 2 2 2 1 ，其中∑是圆柱面 x y a 介于平面 与 2 2 + = 2 z = 0 z = H 之间的部分； 1
(5) dS,其中∑是球面x2+y =a: 6/x2+y2+s,其中∑是抛物面2=x2+y2介于平面二=0与二=8之 间的部分; (7)「ds,其中Σ是螺旋面x=vcos,y=usin,z=v,0≤u≤a, 0≤v≤2丌的一部分。 5.设球面∑的半径为R,球心在球面x2+y2+2=a2上。问当R何值时,Σ在球面 x2+y2+z2=a2内部的面积最大?并求该最大面积。 6.求密度为p(x,y)=z的抛物面壳z=(x2+y2),0≤z≤1的质量与重心 7.求均匀球面(半径是a,密度是1)对不在该球面上的质点(质量为1)的引力。 8.设(x,y,-)为连续函数,它在M(x0,y0,0)处有连续的二阶导数。记∑为以M点 为中心,半径为R的球面,以及 4rD fux,y,=)dS (1)证明:limT(R)=(x0,y0,=0); 02u a2ua2u (2)若( ≠0,求当R→0时无穷小量 7(R)-l(x0,y0,=a0)的主要部分 0.设E为上半椭球面2+2+2=1(=20,x为∑在点P(xy,处的切平面 p(x,y,=)为原点O(0,0,0)到平面x的距离,求 ds P(x,y,= 10.设Σ是单位球面x2+y2+2=1。证明 f(ax+by+cr)dS=2r[, f(ua2+b2+c2)du 其中abc为不全为零的常数,f(n)是l√a2+b2+c2上的一元连续函数 11.设有一高度为h()(t为时间)的雪堆在溶化过程中,其侧面满足方程(设长度单 位为cm,时间单位为h) =h(t) 2( h(e 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)。问高度为130cm的雪堆全部 融化需多少时间? 习题14.2 1.求下列第二类曲线积分: (1)∫(x2+y2)+(x2-y2),其中L是以4(10.,B(20)C(2,D(1) 为顶点的正方形,方向为逆时针方向
(5) ∫∫ Σ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dS x y z 2 3 4 2 2 2 ，其中∑是球面 ； 2 2 2 2 x + y + z = a (6) ，其中∑是抛物面 介于平面 与 之 间的部分； ( ∫∫ Σ x + y + z dS 3 2 ) 2 2 2z = x + y z = 0 z = 8 (7) ∫∫ ，其中∑ 是螺旋面 Σ zdS x u = cosv, y = u sin v, z = ≤ v, 0 u ≤ a ， 0 ≤ v ≤ 2π 的一部分。 5．设球面Σ 的半径为 R ，球心在球面 上。问当 2 2 2 2 x + y + z = a R 何值时，Σ 在球面 内部的面积最大？并求该最大面积。 2 2 2 y 2 x + + z = a 6. 求密度为 ρ( , x y) = z 的抛物面壳 z x = + y ≤ z ≤ 1 2 0 2 2 ( ), 1的质量与重心。 7． 求均匀球面（半径是a ，密度是 1）对不在该球面上的质点（质量为 1）的引力。 8．设u( , x y z, ) 为连续函数，它在 M x( , 0 0 y ,z0 ) 处有连续的二阶导数。记∑为以 M 点 为中心，半径为 R 的球面，以及 ∫∫ Σ π = u x y z dS R T R ( , , ) 4 1 ( ) 2 。 （1）证明：lim ( ) ( , , ) ； R T R u x y z → = 0 0 0 0 （2）若( ) 0 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + + ≠ x y z z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，求当 R → 0时无穷小量 T R( ) − u(x , y ,z ) 0 0 0 的主要部分。 9. 设Σ 为上半椭球面 1 2 2 2 2 2 + + z = x y （ z ≥ 0 ），π 为Σ 在点 P(x, y,z) 处的切平面， ρ(x, y,z) 为原点O(0,0,0) 到平面π 的距离，求 ∫∫ Σ dS x y z z ρ( , , ) 。 10. 设Σ 是单位球面 1。证明 2 2 2 x + y + z = ∫∫ ∫ − Σ + + = + + 1 1 2 2 2 f (ax by cz)dS 2π f (u a b c )du ， 其中 a,b, c 为不全为零的常数， f (u) 是 2 2 2 | u |≤ a + b + c 上的一元连续函数。 11．设有一高度为 （t 为时间）的雪堆在溶化过程中，其侧面满足方程（设长度单 位为 cm，时间单位为 h） h(t) ( ) 2( ) ( ) 2 2 h t x y z h t + = − 。 已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9）。问高度为 130cm 的雪堆全部 融化需多少时间？ 习 题 14.2 1. 求下列第二类曲线积分： （1） ∫ + + − ，其中 是以 L (x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 L A(1 0, ), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 为顶点的正方形，方向为逆时针方向； 2
(2)「(x2-2x)dk+(y2-2x)如,其中L是抛物线的一段: y=x2,-1≤x≤1,方向由(-11)到(1,1) (x+y)dx-(x-y)dy ,其中L是圆周x2+y2=a2,方向为逆时针方 向 (4)「ya-xd+(x2+y2),其中L是曲线x=e,y=e',==a', 0≤t≤1,方向由(e,e-,a)到(1,1,1) (5)x+y+(x+y-1),L是从点(111)到点(2,34)的直线段 (6)|yax+zdy+xd,L为曲线 +y+==2az, x+r=a(a>O) 若从z轴的正向看 去,L的方向为逆时针方向 (7)(-)+(=-x)+(x-y),L为圆周 1, y=xana(0<a<r), 若从x轴的正向看去,这个圆周的方向为是逆时针方向 2.证明不等式 P(, y)dx+O(x, y )dys MC 其中C是曲线L的弧长,M=max{yP2(x,y)+Q2(x,y)xy)∈L}。记圆周 x2+y2=R2为L,利用以上不等式估计 并证明 lim I=0 3.方向依纵轴的负方向,且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m的质点沿抛物 从点(1,0)移到(0,1)时,场力所作的功 4.计算下列第二类曲面积分 (1)jx+y)d+(y+)dd+(=+x)dod,其中x是中心在原点,边长 为2h的立方体[-h,h×[-h,h×[-h,的表面,方向取外侧 (2) lynd=dx,其中是椭球面n+b2+2=1的上半部分,方向取上侧 (3)d+ xdEdx+yd,其中x是柱面x2+y2=1被平面=0和=4 所截部分,方向取外侧 (4)xd+3od,其中E是抛物面二=4-x2-y2在=20部分,方向 取下侧 ∫xy,)+xd+p2f(x,y2)+y]d+[(xy)+d,其
（2） ，其中 是抛物 线的一 段 ： ，方向由 ∫ − + − L (x 2xy)dx ( y 2xy)dy 2 2 L y x = − ≤ x ≤ 2 , 1 1 (−11, ) 到( , 11) ； （3） ∫ + + − − L 2 2 ( ) ( ) x y x y dx x y dy ，其中 是圆周 ，方向为逆时针方 向； L x y a 2 2 + = 2 （4） ∫ − + + ，其中 L 是曲线 ， L ydx xdy (x y )dz 2 2 t t t x = e y = e z = a − , , 0 ≤ t ≤ 1，方向由( , e e ,a) 到 ； −1 ( , 111, ) （5） ∫ + + + − ， 是从点 到点 的直线段； L xdx ydy (x y 1)dz L (111 , , ) ( , 2 3,4) （6） ， 为曲线 若从 轴的正向看 去， 的方向为逆时针方向； ∫ + + L ydx zdy xdz L ⎩ ⎨ ⎧ + = > + + = ( 0), 2 , 2 2 2 x z a a x y z az z L （7） ∫ − + − + − ，L 为圆周 L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ⎩ ⎨ ⎧ = < < + + = tan (0 ), 1, 2 2 2 y x α α π x y z 若从 x 轴的正向看去，这个圆周的方向为是逆时针方向。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中 C 是曲线 L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 x y R 为 ，利用以上不等式估计 2 2 2 + = LR ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0 。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一个力场。求质 量为m 的质点沿抛物线 y x 从点 移到 时，场力所作的功。 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 4. 计算下列第二类曲面积分： （1） ，其中Σ是中心在原点，边长 为2 的立方体[ , ∫∫ Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy h −h h] × [−h h, ] × [ , −h h] 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 + + 2 = 1的上半部分，方向取上侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4） ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 取下侧； ∫∫ Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 （5） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其 3
中f(x,y,2)为连续函数,E是平面x-y+2=1在第四卦限部分,方向 取上侧 (6)∫x2d+y2ddx+(=2+5)dhy,其中x是锥面=√x2+y (0≤z≤h),方向取下侧 (7) dzdx,其中Σ是抛物面y=x2+2与平面y=1,y=2所 围立体的表面,方向取外侧。 (8) ∫+da+dh,其中为椭球面+)+=1,方向 取外侧 (9)「xb+ydax+=2dd,其中∑是球面(x-a)2+(y-b)2+ (z-c)2=R2,方向取外侧。 习题14.3 1.利用 Green公式计算下列积分: (1)j(x+y)ax-(x2+y2)d,其中L是以41),B(32,C(25)为顶点的 角形的边界,逆时针方向 (2)∫x2a-x2ydp,其中L是圆周x2+y2=a2,逆时针方向 (3) j x+2snx-ye+(snx-22,其中L是星形 线x3+y3=a3(a>0),逆时针方向; (4)∫e-cosy)x-(y-smyM小],其中L是曲线y=sinx上从(0)到 (x0)的一段; (5)∫(2-y-(+sm2y),其中L是圆周x2+y2=2x的上半部分, 方向从点(0,0)到点(2,0); (6) ∫ le"sin y-b0x+y)+( e cosy-axy,其中a,b是正常数,L为从 点A(2a,0)沿曲线y=√2ax-x2到点O(00)的一段: cdy- ya 其中L是以点(10)为中心,R为半径的圆周(R>1),逆 4x-+y 时针方向 (8)「(x-y)在+(x+),其中L为单位圆周x2+y2=1,逆时针方向: (9) [Gxsin y- cos y)dx+(xcos y-ysin y)dy 其中L是包围原点的
中 f x( , y,z) 为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向 取上侧； （6） ∫∫ ，其中 Σ 是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7） ∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8） ∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中 Σ 是球面 ，方向取外侧。 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R 习 题 14.3 1． 利用 Green 公式计算下列积分： （1） ∫ + − + ，其中 是以 L (x y) dx (x y )dy 2 2 2 L A(11, ), B(3,2), C(2,5) 为顶点的 三角形的边界，逆时针方向； （2） ∫ − ，其中 是圆周 ，逆时针方向； L xy dx x ydy 2 2 L x y a 2 2 + = 2 （3） ( ) ( ) ∫ + − + − L x y x xy x y e dx x x ye dy x x cos 2 sin sin 2 2 2 2 ，其中 L 是星形 线 ( 0) 3 2 3 2 3 2 x + y = a a > ，逆时针方向； （4） [( ) ( ) ∫ − − − L e y dx y y dy x 1 cos sin ]，其中 L 是曲线 y x = sin 上从 ( , 0 0) 到 ( , π 0)的一段； （5） ( ) ( ) ∫ − − + L x y dx x y dy 2 2 sin ，其中 是圆周 的上半部分， 方向从点 到点 ； L x y 2 2 + = 2x ( , 0 0) (2,0) （6） [ ] ( ) ∫ − + + − L e y b x y dx e y ax dy x x sin ( ) cos ，其中 是正常数，L 为从 点 沿曲线 a,b A(2a,0) 2 y = 2ax − x 到点O(0,0)的一段； （7） ∫ + − L 2 2 4x y xdy ydx ，其中L 是以点(1,0) 为中心，R 为半径的圆周（ R > 1），逆 时针方向； （8） ∫ + − + + L 2 2 4 ( ) ( 4 ) x y x y dx x y dy ，其中L 为单位圆周 1，逆时针方向； 2 2 x + y = （9） [ ] ∫ + − + − L 2 2 ( sin cos ) ( cos sin ) x y e x y y y dx x y y y dy x ，其中L 是包围原点的 4
简单光滑闭曲线,逆时针方向。 2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x=acos3t,y=asin3t (2)抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴 (3)旋轮线的一段 x=a(t-sinn) t∈[0,2x]与x轴 y=a(1-cost), 3.先证明曲线积分与路径无关,再计算积分值 (1) (x-y(dx-dy (2)J,o(x)dx+(y)小y,其中φ(x),(y)为连续函数 (6,8)xdx+ydy (3) ,沿不通过原点的路径 4.证明(2 cosy+y2cosx)dx+(2 sinx-x2siny)dhy在整个xy平面上是某个函数的 全微分,并找出这样一个原函数。 5.证明xdx+y在除去y的负半轴及原点的裂缝xy平面上是某个函数的全微分,并找出 这样一个原函数 6.设Q(xy)在x平面上具有连续偏导数,曲线积分∫2x+xy)与路径无关,并 且对任意恒有2x+gx,y)=2+qx,y)dy,求Q(x,y) 0) 7.确定常数λ,使得右半平面x>0上的向量函数r(x,y)=2xy(x+y)i x2(x4+y2)2j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y) 8.设一力场为F=(3x2y+8xy2)i+(x3+8x2y+12ye),证明质点在此场内移动时, 场力所作的功与路径无关。 9.利用 Gauss公式计算下列曲面积分: (1)x2bh+y+h,为立方体0≤x,y:≤a的表面,方向取外侧: (2)(x-y+2)d+(y-:+x)ld+(-x+y)dh,其中E为闭曲面 x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1,方向取外侧 (3)』(x2cosa+y2cos+=2cosy)dS,其中E为锥面二2=x2+y2介于平面 二=0与z=h(h>0)之间的部分,方向取下侧 (4) xdhd+yddx+zhxd,其中卫为上半球面=√R2-x2-y2,方向取上 侧 (5)2(1-x2)dd+8xdax-4adxd,其中是由xy平面上的曲线 x=e"(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面,曲面的法向量与x轴的正向的夹 角为钝角 (6)‖(2x+)dd+dtdy,其中Σ是曲面z=x2+y2(0≤≤1),曲面的法 向量与z轴的正向的夹角为锐角;
简单光滑闭曲线，逆时针方向。 2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： （1） 星形线 x a = cos t, y = a sin t ； 3 3 （2） 抛物线( ) x y + = ax (a > ) 与 2 0 x 轴； （3） 旋轮线的一段： ⎩ ⎨ ⎧ = − = − (1 cos ), ( sin ), y a t x a t t t ∈[ , 0 2π] 与 x 轴。 3. 先证明曲线积分与路径无关，再计算积分值： （1） ( )( ； ( , ) ( , ) x − y dx − dy ∫ 0 0 1 1 ) （2） ϕ( ) φ( ) ，其中 ( , ) ( , ) x dx + y dy ∫ 2 1 1 2 ϕ( ) x , φ( y) 为连续函数； （3） xdx ydy x y + + ∫ 1 0 2 2 6 8 ( , ) ( , ) ，沿不通过原点的路径。 4．证明( c 2 os cos ) (2 sin sin ) 在整个 2 x y + + y x dx y x − x y dy 2 xy 平面上是某个函数的 全微分，并找出这样一个原函数。 5．证明 xdx ydy x y + +2 2 在除去 y 的负半轴及原点的裂缝 xy 平面上是某个函数的全微分，并找出 这样一个原函数。 6．设Q(x, y) 在 xy 平面上具有连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并 且对任意 恒有 ，求 。 ∫ + L 2xydx Q(x, y)dy t ∫ ∫ + = + (1, ) (0, 0) ( ,1) (0, 0) 2 ( , ) 2 ( , ) t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy Q(x, y) 7 ． 确定常 数 λ ，使得右半平 面 上的向 量函数 为某二元函数 的梯度，并求 。 x > 0 r i λ ( , ) 2 ( ) 4 2 x y = xy x + y j λ ( ) 2 4 2 − x x + y u(x, y) u(x, y) 8．设一力场为 ，证明质点在此场内移动时， 场力所作的功与路径无关。 F (3 8 )i ( 8 12 ) j 2 2 3 2 y = x y + xy + x + x y + ye 9．利用 Gauss 公式计算下列曲面积分： （1） ∫∫ x 2 2 dydz + + y dzdx z 2 dxdy ，Σ为立方体 Σ 0 ≤ x, , y z ≤ a 的表面，方向取外侧； （2） ∫∫ ( ) x − + y z dydz + ( ) y − z + x dzdx + (z − x + y)dxdy ，其中 Σ 为闭曲面 Σ | x − y + z |+| y − z + x |+| z − x + y |= 1，方向取外侧； （3） ，其中Σ为锥面 介于平面 与 之间的部分，方向取下侧； ( ) x y z 2 2 2 cosα β + + cos cosγ ∫∫ Σ dS 2 ) z x y 2 2 = + z = 0 z h = (h > 0 （4） ∫∫ xdydz + + ydzdx zdxdy ，其中Σ为上半球面 Σ z R = − x − y 2 2 2 ，方向取上 侧； （5） ∫∫ 2 1( ) −+− x 2 dydz 8xydzdx 4zxdxdy ，其中 Σ 是 由 Σ xy 平 面 上的曲线 x e y a 绕 y = ≤ (0 ≤ ) x 轴旋转而成的旋转面，曲面的法向量与 轴的正向的夹 角为钝角。 x （6） ∫∫ ，其中Σ是曲面 （ Σ (2x + z)dydz + zdxdy 2 2 z = x + y 0 ≤ z ≤ 1），曲面的法 向量与 z 轴的正向的夹角为锐角； 5