习 题101 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 (1)Sn(x)=c (1)x∈(0,1) (i)x∈(l,+∞) (2)S(x)=xe x∈(0,+∞) 3)S,(x)=sin (1)x∈(-∞,+∞) (i)x∈[-A,A](A>0); (4)S,(x)=arctan nx (1)x∈(0,1) (i)x∈(1,+∞) G)s(x)=x2+1 x∈(-∞,+∞); (6)S(x)=nx(1-x) (7) S,(x)=-In (1)x∈(0,1), (i)x∈(1,+∞)); (8)Sn(x)= (1)x∈(0,1), l)x∈(1,+∞ (9)Sn(x)=(sin x) x∈[0,x]; () Sn(x)=(sin x) (i)x∈[0,1],(i)x∈[6,丌-8](>0); 0)S(x)=|1+ (1)x∈(-∞,+∞),(i)x∈[-A,4](A>0); (2)Sn(x) +-√x,()x∈(0+∞),(i)x∈[6,+∞)6>0 2.设S(x)=m(x-x2n),则函数序列{S(x)}在[,]上收敛但不一致收敛,且极限运算与 积分运算不能交换,即 lim S, (x)dx* limS(r)dx 3.设S(x 1+n2x 则 (1)函数序列{Sx)}在(-∞,+∞)上一致收敛 (2)S(x)}在(-+)上不一致收敛 (3)极限运算与求导运算不能交换,即 并不对一切x∈(-∞,+∞)成立。 4.设S(x)=- arctan x,则函数序列{S(x)}在(0,+∞)上一致收敛;试问极限运算与求 导运算能否交换,即 limS月(x) Iim Sn(x) 是否成立? 5.设S(x)=n“xe,其中a是参数。求a的取值范围,使得函数序列{S(x)}在[0,1上 (1)一致收敛
习 题 10.1 1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。 ⑴ Sn(x) = , (i) x −nx e ∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑵ Sn(x) = x , x −nx e ∈ (0,+∞) ； ⑶ Sn(x) = sin n x , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑷ Sn(x) = arctan nx, (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞)； ⑸ Sn(x) = 2 2 1 n x + , x∈ (−∞,+∞) ； ⑹ Sn(x) = nx(1 - x) n , x∈ [0,1]； ⑺ Sn(x) = n x ln n x , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞))； ⑻ Sn(x) = n n x x 1+ , (i) x∈ (0,1) ， (ii) x∈ (1,+∞) ； ⑼ Sn(x) = (sin x) n , x∈ [0,π ]； ⑽ Sn(x) = (sin x) n 1 , (i) x∈ [0,1]， (ii) x∈ [δ ,π − δ ]（δ > 0）； ⑾ Sn(x) = n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1+ , (i) x∈ (−∞,+∞) ， (ii) x∈ [−A, A]( A > 0)； ⑿ Sn(x) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − x n n x 1 , (i) x∈ (0,+∞) , (ii) x ∈[δ ,+∞), δ > 0。 2. 设Sn(x) = n(x n - n x 2 )，则函数序列{S (x)}在 上收敛但不一致收敛，且极限运算与 积分运算不能交换，即 n [0,1] n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx ≠ ∫ →∞ 1 0 lim n Sn(x) dx。 3. 设Sn(x) = 2 2 1 n x x + ，则 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在(−∞,+∞) 上一致收敛； ⑵ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( ) d d S x x n 在(−∞,+∞) 上不一致收敛； ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 并不对一切 x∈ (−∞,+∞) 成立。 4. 设Sn(x) = n 1 arctan x n ，则函数序列{Sn(x)}在(0,+∞) 上一致收敛；试问极限运算与求 导运算能否交换，即 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 是否成立? 5. 设Sn(x) = ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列{S a nx n xe − n(x)}在[0,1]上 ⑴ 一致收敛； 1
(2)积分运算与极限运算可以交换,即 lim ls, (x)dr=5 lim Sm(x)dx (3)求导运算与极限运算可以交换,即对一切x∈[0,1]成立 lim Sm(x) n→dx 6.设S'(x)在区间(a,b)上连续, Sn(x)=nS x+--S(x) 证明:{S(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S'(x) 7.设S0(x)在[Oa]上连续,令 Sm(x)=s,(odt, 证明:{S(x)}在[0,a]上一致收敛于0。 8.设S(x)在[0,1上连续,且S(1)=0。证明:{x"S(x)}在0,1上一致收敛。 习 题10.2 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性 (1)∑(1-x)x (2)∑(1-x)x, x∈0,1 。,0 [ (x∈D.+∞),(i)x∈{,+∞)(6>0) x∈(-∞,+∞) sIn nx x∈(-∞,+∞) nan+x' x∈[0,l x∈(-,+∞); (9)2"sin (x∈(0,+∞),(i)x∈[6+∞)(8>0 Inx sin nx x∈(-∞,+∞); (+x2) x∈(-∞,+∞);
⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即 n→∞ lim ∫ 1 0 S (x) n dx = S ∫ →∞ 1 0 lim n n(x) dx； ⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x∈[0,1]成立 n→∞ lim d x d Sn(x) = d x d n→∞ lim Sn(x) 。 6. 设 S '(x)在区间(a,b)上连续， Sn(x) = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ( ) 1 S x n n S x ， 证明：{Sn(x)}在(a,b)内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设 S0 (x) 在[0, a]上连续，令 Sn(x) = ∫ − d t， n = 。 x n S t 0 1 ( ) 1,2," 证明：{Sn(x)}在[0, a]上一致收敛于 0。 8. 设S(x)在[0,1]上连续，且S(1) = 0。证明：{x n S(x)}在[0,1]上一致收敛。 习 题 10.2 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； 2
x∈(-∞,+∞) (1+x2) 2.证明:函数f(x)= cos nx 在(0,2)上连续,且有连续的导函数。 3.证明:函数f(x)=∑me在(0,+∞)上连续,且有各阶连续导数。 4证明:函数∑1在(1+-)上连续,且有各阶连续导数:函数∑二在(0+)上连 续,且有各阶连续导数。 5.证明:函数项级数f(x)=∑ arctan可以逐项求导,即 dr() arctan、xx d x 6.设数项级数∑an收敛,证明 (1)lim a, d 7.设m(x),n()在区间(ab)连续,且|an(x)≤mn()对一切n∈N成立证明:若∑(x) 在(a.b)上点态收敛于一个连续函数,则∑un(x)也必然收敛于一个连续函数。 8.设函数项级数∑n(x)在x=a与x=收敛,且对一切n∈N,a(x)在闭区间[ab]上单 调增加,证明:∑un(x)在[b上一致收敛。 9.设对一切n∈N,m(x)在=a右连续,且∑un(x)在x=发散,证明:对任意6>0, ∑un(x)在(aa+8)上必定非一致收敛。 0.证明函数项级数∑m1+ 在[-ad]上是一致收敛的,其中a是小于2ln2的 nIn- n 任意固定正数 -tan (1)证明:f(x)在D/2]上连续: (2)计算∫f(x)dk cos nx 2.设f(x) (1)证明:f(x)在(-∞,+∞)上连续;
⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 2. 证明：函数 ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos ( ) n n nx f x 在(0,2π )上连续，且有连续的导函数。 3. 证明：函数 ∑ 在 ∞ = − = 1 ( ) e n nx f x n (0,+∞) 上连续，且有各阶连续导数。 4. 证明：函数∑ ∞ =1 1 n x n 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导数；函数 ∑ ∞ = − 1 ( 1) n x n n 在 上连 续，且有各阶连续导数。 (0,+∞) 5. 证明：函数项级数 ∑ ∞ = = 1 2 ( ) arctan n n x f x 可以逐项求导，即 d x d f (x) = ∑ ∞ =1 2 arctan d d n n x x 。 6. 设数项级数 ∑ 收敛，证明： ∞ n=1 n a ⑴ →0+ lim x ∑ ∞ n=1 x n n a = ∑ ； ⑵ = ∞ n=1 an ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 a x d x n n n ∑ ∞ n=1 +1 n n a 。 7. 设un (x)，vn (x)在区间(a, b)连续，且│un (x)│≤vn (x) 对一切n∈N+ 成立。证明：若 ∑ 在(a, b)上点态收敛于一个连续函数，则 也必然收敛于一个连续函数。 ∞ =1 ( ) n n v x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 8. 设函数项级数 ∑ 在x = a与x = b收敛，且对一切n∈N ∞ =1 ( ) n n u x + ，un (x)在闭区间 上单 调增加，证明： 在[a, b]上一致收敛。 [a,b] ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 9. 设对一切n∈N+ ，un (x)在x= a右连续，且 在x = a发散，证明：对任意δ＞0， 在(a, a +δ)上必定非一致收敛。 ∑ ∞ =1 ( ) n n u x ∑ ∞ =1 ( ) n n u x 10．证明函数项级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 ln ln 1 n n n x 在[− a,a]上是一致收敛的，其中 a 是小于 的 任意固定正数。 2ln 22 11．设 ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 ( ) n n n x f x 。 （1） 证明： f (x) 在[0, π / 2]上连续； （2） 计算 ∫ 2 6 ( ) π π f x dx 。 12．设 ∑ ∞ = + = 1 3 cos ( ) n n n nx f x 。 （1） 证明： f (x) 在(−∞, + ∞) 上连续； 3
(2)记F(x)=f(1)dt,证明: 设∫(x)= =02+x (1)证明f(x)在[0,+∞)上可导,且一致连续; )证明反常积分|。f(x)dx发散 习题103 求下列幂级数的收敛半径与收敛域 (1) 32+(-2) (2) (x-1) 2 (3)∑(-1) (0∑(-1mn+D x+ n+1 (7) ∑∑ (2n+) 2.设a>b>0,求下列幂级数的收敛域。 (1) (3) ax+bx2+ax+b2x4+.+d 3.设∑anx”与∑bx”的收敛半径分别为R和R2讨论下列幂级数的收敛半径 a x (2)∑(an+bn (3)∑abnx 4.应用逐项求导或逐项求积分等性质,求下列幂级数的和函数,并指出它们的定义域。 (1) (3)∑(-1)"n2x (4) n(n+1)
（2）记 = ∫ ，证明： x F x f t dt 0 ( ) ( ) 2 2 15 2 1 2 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − < π F 。 13．设 ∑ ∞ = + = 0 2 1 ( ) n n x f x 。 （1） 证明 f (x) 在[0, + ∞) 上可导，且一致连续； （2） 证明反常积分 ∫ 发散。 +∞ 0 f (x)dx 习 题 10.3 1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。 ⑴ ∑ ∞ = + − 1 3 ( 2) n n n n x n ; ⑵ n n x n ( 1) 1 2 1 1 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = " ; ⑶ ∑ ∞ = ⋅ − 1 2 2 ( 1) n n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + + + − 1 ( 1) 1 ln( 1) ( 1) n n n x n n ； ⑸ n n n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ ∞ = 2 1 ! 3 1 ; ⑹ 2 2 2 ln n n n x n n ∑ ∞ = ; ⑺ n n n x n n ∑ ∞ =1 ! ； ⑻ n n x n n ∑ ∞ =1 2 (2 )! ( !) ; ⑼ n n x n n ∑ ∞ =1 (2 +1)!! (2 )!! 。 2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。 ⑴ n n n n x n b n a ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 2 ; ⑵ ∑ ∞ n=1 +n n n a b x ; ⑶ a x + b x 2 + a 2 x 3 + b2 x 4 + … + an x 2n - 1 + bn x 2n + …。 3. 设 ∑ 与 的收敛半径分别为R ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n b x 1和R2, 讨论下列幂级数的收敛半径： (1) ∑ ; (2) ∑ ; ∞ =0 2 n n n a x ∞ = + 0 ( ) n n n n a b x (3) ∑ 。 ∞ n=0 n n n a b x 4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。 ⑴ ∑ ∞ n=1 n nx ; ⑵ ∑ ∞ =0 + 2 n 2 1 n n x ; ⑶ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n x ; ⑷ ∑ ∞ =1 ( +1) n n n n x ; 4
(5)∑n(n+1)x"; (6)1+ ∑ 5.设f(x)=∑anx",则不论∑anx”在x=r是否收敛,只要∑。;x在x=r收敛, 就成立 f(x)dx=∑ n=0n+1 并由此证明: 1 d x nal n 证明: 满足方程y z6(4n) (2)y=∑满足方程xy”+y-y=0 7.应用幂级数性质求下列级数的和 ()∑(-1)y ∑ n(n+2) 3"(2n+1) G)∑(-) n+1 ()∑(-1 n 8.设正项级数∑an发散,A=∑4,且im=0,求幂级数∑anx"的收敛半径 n→ 9.设∫(x)=∑二x”。 (1)证明f(x)在 22/上连续, 可导 (2)f(x)在x=处的左导数是否存在? 习 题10.4 1.求下列函数在指定点的 Taylor展开,并确定它们的收敛范围 (1)1+2x-3x2+5x3,x=1;
⑸ ∑ ∞ = + 1 ( 1) n n n n x ； ⑹ ∑ ∞ = + 1 2 (2 )! 1 n n n x ; ⑺ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n x n n 。 5. 设 f (x) = ∑ , 则不论 在 x = r 是否收敛，只要 ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ n=0 n n a x ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n x n a 在 x = r 收敛， 就成立 ∫ r f x x 0 ( )d = ∑ ∞ = + 0 + 1 n 1 n n r n a ， 并由此证明： ∫ ⋅ − 1 0 d 1 1 ln x x x =∑ ∞ =1 2 1 n n 。 6. 证明： (1) y = ∑ ∞ =0 4 (4 )! n n n x 满足方程 y (4) = y ; (2) y = ∑ ∞ =0 2 n ( !) n n x 满足方程 x y′′ + y ' - y = 0。 7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴ ∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n ; ⑵ ∑ ∞ = ⋅ 1 2 1 n n n ; ⑶ ∑ ∞ = + + 1 1 4 ( 2) n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = + 0 2 2 ( 1) n n n ; ⑸ ∑ ∞ = + − 0 3 (2 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − − 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 0 1 ! 2 ( 1) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = + 1 ! 1 n n n . 8．设正项级数∑ 发散， ，且 ∞ n=1 n a ∑= = n k n k A a 1 lim = 0 →∞ n n n A a ，求幂级数∑ 的收敛半径。 ∞ n=1 n n a x 9．设 ∑ ∞ = = 1 2 2 ( ) n n n x n f x 。 （1） 证明 f (x) 在 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上连续，在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 1 , 2 1 上可导； （2） f (x) 在 2 1 x = 处的左导数是否存在？ 习 题 10.4 1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x - 3x 2 + 5x 3 ， x0 = 1; ⑵ 2 1 x ， x0 = -1; 5