习题8. 1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电荷产生 的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为F=kq(k为常 数),求距电场中心x处的电位。 图 2.证明:若厂f(x)k和厂g(x)hx收敛,k和k为常数,则 [kf(x)+kg(x)]女也收敛,且 kf(x)+k2g(x)=k厂f(x)+k厂g(x) 3.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果) sins d (4)0(x2+a2)(x2+b2) (a>0,b>0) 5)xedr(a∈R) dx(P∈R); Inp (7) dx dh (x2+1)3 (ex+e-x) dx d 4.计算下列无界函数的反常积分(发散也是一种计算结果) x (3)dx () 2-x)1- I 1J(s) dx 5.求极限m 6.计算下列反常积分:
习 题 8.1 ∞ x q 图 8.1.4 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量 + q的点电荷产生 的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （ k 为常 数），求距电场中心 x 处的电位。 ⒉ 证明：若 和 收敛， 为常数，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k k 1和 2 [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 也收敛，且 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; ⑺ 1 1 2 3 2 ( ) / x dx + −∞ +∞ ∫ ; ⑻ 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ; ⑼ 1 1 0 4 x dx + +∞ ∫ ； ⑽ ln x x dx 1 0 2 + +∞ ∫ 。 ⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ x x dx 1 0 2 1 − ∫ ; ⑵ 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ; ⑶ x x dx − ∫ 1 1 2 ; ⑷ 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ; ⑸ 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ; ⑹ ∫ 2 0 tan 1 π dx x ; ⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 ⒍ 计算下列反常积分： 1
(1)「 In cos xdx (2) SxInsinxdx。 (3)cot xdx t arcsinx In x (5) 7.求下列反常积分的 Cauchy主值 )(cp) dx (2)(cpV) dx (3)(cpN)2xhx女x。 8.说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 9.(1)以厂。f(x)d为例,叙述并证明反常积分的线性性,保序性和区间可加性 (2)举例说明,对于反常积分不再成立乘积可积性 0.证明当a>0时,只要下式两边的反常积分有意义,就有 d x= In dx 1.设。f(x)d女收敛,且limf(x)=A。证明A=0 12.设f(x)在[a+2)上可导,且。f(x)与。f(x都收敛,证明imf(x)=0 计算实习题 在教师的指导下,试编制一个通用的 Gauss-Legendre求积公式程序,在电子计算机上实 际计算下列反常积分值,并与精确值比较: In(1-x) (精确值一): x 2 In x In(1-x)k,(精确值2--) (3)「 n cos xdx (精确值--ln2) (精确值一); )jsin(x2)x,(精确值{) 2V2
(1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x x ln sin 0 π ∫ dx 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 ⒏ 说明一个无界函数反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的线性性，保序性和区间可加性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 10. 证明当a > 0 时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 11．设 ∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 12．设 f (x) 在[a,+∞) 上可导，且 ∫ 与 都收敛，证明 。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 计 算 实 习 题 在教师的指导下，试编制一个通用的 Gauss-Legendre 求积公式程序，在电子计算机上实 际计算下列反常积分值，并与精确值比较： ⑴ ln(1 ) 0 1 − ∫ x x dx ， （精确值 − π2 6 ）； ⑵ 0 ln x ln(1 x) ，（精确值 1 ∫ − dx 2 6 2 − π ）； ⑶ ln cos xdx 0 2 π ∫ ， （精确值 − π 2 ln 2）； ⑷ ∫ +∞ 0 tan dx x x ， （精确值 π 2 ）； ⑸ 0 sin(x 2 )dx ， （精确值 +∞ ∫ 1 2 2 π ）。 2
习题8.2 1.(1)证明比较判别法(定理8.2.2) (2)举例说明,当比较判别法的极限形式中=0或+∞时 (x)和厂fx)t 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 2.证明 Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。 3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: arctan x -2x +Inx+1 dx(p,q∈R) +x sin x 4.证明:对非负函数f(x),(cpv)∫f(x)x收敛与」二fx)hk收敛是等价的。 5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同): In Inx ∫2a(p∈R sin x arc tanx dx(p∈R+) o sin(x Pu(x sin xdx(pn(x)和qn(x)分别是m和n次多项式 q,(x) qn(x)在x∈[a,+∞)范围无零点。) 6.设f(x)在{a,b只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3和定理8.2.5 7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性: x2(1-3 cos-rsina. dx (5)IInxlpdx (1-x) 讨论下列反常积分的敛散性 (1) d(p,q∈R);(2) In (x-1)2(x
习 题 8.2 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 + ∞ 时，∫ 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R ⒋ 证明：对非负函数 f (x)，(cpv) f x( )dx 收敛与 收敛是等价的。 −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ p x 和q 分别是 和 次多项式， m ( ) x n ( ) m n q x n ( )在 x ∈[a,+∞) 范围无零点。） ⒍ 设 f x( )在[ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2.3′ 和定理 8.2. 5′ 。 ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . ⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; 3
n(1+x) arc tan x (7) d x 9.讨论下列反常积分的敛散性 (1) (2)[+ox9sInx dx(p≥0); 1+x coSX sinx sin zxdx COs dx (p>0) 10.证明反常积分 xsin x sin xdx收敛。 1.设f(x)单调,且当x→0+时f(x)→+,证明:∫f(x)dt收敛的必要条件是 12.设。f(x)d收敛,且x(x)在a+2)上单调减少,证明: lim x(In x(x)=0 13.设∫(x)单调下降,且limf(x)=0,证明:若∫(x)在[0,+∞)上连续,则反常积分 。f(x)sin2x收敛 14.设∫。f(x)绝对收敛,且lmf(x)=0,证明∫"f(x收敛 15.若∫。f2(x)d收敛,则称f(x)在[a+∞)上平方可积(类似可定义无界函数在[a,b 上平方可积的概念) (1)对两种反常积分分别探讨∫(x)平方可积与∫(x)的反常积分收敛之间的关系; (2)对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含 (3)对无界函数的反常积分,证明:平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立 16.证明反常积分 sinxdx xp+sin x
⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . ⒐ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x dx p− +∞ + ∫ 1 0 2 1 ; ⑵ x x x dx q p sin 1 1 + +∞ ∫ ( p ≥ 0 ); ⑶ ∫ +∞ 0 sin e cos dx x x p x ; ⑷ ∫ +∞ 0 sin e sin 2 dx x x p x ; (5) ∫ 1 0 2 1 cos 1 dx x x p ； (6) ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 sin dx x x x p ( p > 0 ). 10．证明反常积分 ∫ 收敛。 +∞ 0 4 x sin x sin xdx 11．设 f (x)单调，且当 x → 0 + 时 f x( ) → +∞ ，证明： 收敛的必要条件是 。 f x( )dx 0 1 ∫ lim ( ) x xf x → + = 0 0 12．设 ∫ 收敛，且 在 +∞ a f (x)dx xf (x) [a,+∞) 上单调减少，证明: lim (ln ) ( ) = 0 。 →+∞ x x f x x 13．设 f x( )单调下降，且 lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明：若 f ′(x) 在[ , 0 +∞) 上连续，则反常积分 ′ 收敛。 +∞ ∫ f x( )sin x dx 2 0 14. 设 ∫ 绝对收敛，且 +∞ a f (x)dx lim ( ) x f x →+∞ = 0，证明 f x dx 收敛。 a 2 ( ) +∞ ∫ 15． 若 f x dx 收敛，则称 在[ , a 2 ( ) +∞ ∫ f x( ) a +∞)上平方可积（类似可定义无界函数在[ , 上平方可积的概念）。 a b] ⑴ 对两种反常积分分别探讨 f x( )平方可积与 f (x)的反常积分收敛之间的关系； ⑵ 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互不包含； ⑶ 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但逆命题不成立。 16. 证明反常积分 sin sin x x x dx p + +∞ ∫1 4
当p≤时发散,当<P≤1时条件收敛,当p>1时绝对收敛
当 p ≤ 1 2 时发散，当 1 2 < p ≤ 1时条件收敛，当 p > 1时绝对收敛。 5