第九章习题 习题9.1 1.讨论下列级数的收敛性。收敛的话,试求出级数之和 (1) hal n(n+2) =3n+1 62n(n+1m+2) ∑ ∑(√m+2-2Ⅶm+1+√m) 2n-1 3" (9)∑q" cos nx(|qk1) 2.确定x的范围,使下列级数收敛。 (3)∑x"(1-x 3.求八进制无限循环小数(36.0736073607…)8的值 4设x,=x(0-xyd,求级数∑,的和 5.设抛物线l:y=nx2+和l”:y=(+1)x2+1 的交点的横坐标的绝对值为 (n=1.2.…) (1)求抛物线ln与l所围成的平面图形的面积Sn; (2)求级数∑的和 9.2 1.求下列数列的上极限与下极限 n 4s0 (3)xn=n[(-1)+2 /n+1+ 2.证2(-1)y+1+3(1
第九章习题 习 题 9.1 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ ∑ ∞ =0 cos n n q nx (| q |< 1). 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 5. 设抛物线ln ： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标的绝对值为 （ ）。 n a n = 1,2," (1) 求抛物线ln 与 nl′ 所围成的平面图形的面积 Sn ； (2) 求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 习 题 9.2 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 2. 证明： 1
climx. c>0 (1) lim(x )=-lim x.: (2)lim(cx) 0 3.证明 (1)lim(xn+yn)>lim xn+lim yn: n→∞ (2)若limx,存在,则 lim(x +y, lim x, + lim y →① 证明:若 lim x=x,-∞<x<0,则 lim(x, y lim x,. lim y, lim(x, y,lim x, lim y 习题93 讨论下列正项级数的收敛性: (1) n4+1 (3)21n2n (4) naI n (5)5 Inn (6)∑1-cos ∑ ()(3n-1) ∑ [2+(-1)" ∑ 又2"n! 2 ∑(2n-Vn2 z(1+a)(1+a2)…(1+a) (a>0) 2.利用级数收敛的必要条件,证明 (2)lim(2m)! 3.利用Rabe判别法判断下列级数的收敛性:
(1) n→∞ lim (- x ) = - n n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ n→∞ lim xn + n→∞ lim n y ； (2) 若 lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( x + )= + n n y n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若 lim = x，-∞ ＜ x ＜ 0, 则 n→∞ xn n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ； n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 习 题 9.3 1. 讨论下列正项级数的收敛性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ∑ ∞ =3 ln cos n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim n→∞ 2 (n!) nn = 0； (2) lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 3. 利用 Raabe 判别法判断下列级数的收敛性： 2
(1) (a>0); (a+1)(a+2)…(a+n 4.讨论下列级数的收敛性: (1) d x (3)∑["ln(1+x)dx。 5.利用不等式 证明: im|1+-+-+…+--lnn 存在(此极限为 Euler常数γ—见例248 6设∑x与∑y是两个正项级数,若lm=0或+∞,请问这两个级数的收敛性关 系如何 7.设正项级数∑x收敛,则∑x2也收敛:反之如何? 8设正项级数∑x收敛,则当P>时,级数∑D收敛:又问当0≤时,结论 是否仍然成立? 9.设∫(x)在[+∞)上单调增加,且limf(x)=A。 (1)证明级数∑U(On+1)-f(m)收敛,并求其和 (2)进一步设f(x)在+∞)上二阶可导,且∫"(x)<0,证明级数∑f(m)收敛。 设a tan"xdx, n=1.2 (1)求级数∑n+am2的和: (2)设λ>0,证明级数∑收敛 1l设xn>0,2>1-(m=1.2…),证明∑x发散。 12.设正项级数∑x发散(xn>0,n=12,…),证明必存在发散的正项级数∑y 使得1imyn=0。 提示:设Sn=∑x,令n=S,yn=√S,-√Sm(n=234…)
(1) ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) ( + ) ! n a a a n n " (a＞0)； (2) ∑ ∞ =1 ln 3 1 n n ； (3) n n 1 2 1 1 1 2 1 + + + ∞ = ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ " 。 4. 讨论下列级数的收敛性： (1) ∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x ； (2) ∑∫ ∞ = π π 1 2 2 2 d sin n n n x x x ； (3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x 。 5. 利用不等式 1 1 n + ＜ ∫ n+1 d n x x ＜ n 1 ，证明： lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − n n ln 1 3 1 2 1 1 " 存在(此极限为 Euler 常数 γ — 见例 2.4.8)。 6. 设∑ 与∑ 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或 +∞，请问这两个级数的收敛性关 系如何? 7. 设正项级数∑ 收敛，则 也收敛；反之如何? ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 n n x 8. 设正项级数∑ 收敛，则当 p＞ ∞ n=1 n x 2 1 时，级数∑ ∞ n=1 p n n x 收敛；又问当 0＜p≤ 2 1 时，结论 是否仍然成立? 9．设 f (x) 在[1,+∞) 上单调增加，且 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 （1）证明级数∑ 收敛，并求其和； ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n （2）进一步设 f (x) 在[1,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) < 0 ，证明级数∑ 收敛。 ∞ = ′ 1 ( ) n f n 10．设 ∫ = 4 0 tan π a xdx n n ， n = 1,2,"。 （1） 求级数∑ ∞ = + + 1 2 n n n n a a 的和； （2） 设λ > 0 ，证明级数∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 11. 设 xn ＞0， n n x x +1 ＞ n 1 1− (n = 1,2,…)，证明∑ 发散。 ∞ n=1 n x 12．设正项级数∑ 发散（ ， ∞ n=1 n x xn > 0 n = 1,2,"），证明必存在发散的正项级数∑ ， ∞ n=1 n y 使得 lim = 0 →∞ n n n x y 。 （提示：设 ∑ ，令 = = n k n k S x 1 1 1 y = S ， n = Sn − Sn−1 y (n = 2,3,4,") ） 3
13.设正项级数∑x发散,Sn=∑x,证明级数∑收敛 (提示:利用不等式2≤ S. 14.设{an}为 Fibonacci数列。证明级数∑红收敛,并求其和 (提示:利用 Fibonacci数列的性质an=an+an1及lim2n_√5+1∠2) 习题9.4 1.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) (1)1- 2y( (x≠-n); n+1 )∑(-1)"sin n (5)2(-1) n ()∑(-1) x (8) y sin(n+ D)x cos(n-D).r 2+ ()∑(-1ynx 0 ∑(-1) (3n-2)(3n+2) (2 nP Ing n 2.利用 Cauchy收敛原理证明下述级数发散 56789 89 3.设正项级数∑x收敛,(xn}单调减少,利用 Cauchy收敛原理证明: lim nx=0 4.若对任意E>0和任意正整数p,存在N(E,P),使得 刀+2 对一切n>N成立,问级数∑x是否收敛?
13. 设正项级数∑ 发散， ，证明级数 ∞ n=1 n x ∑= = n k n k S x 1 ∑ ∞ =1 2 n n n S x 收敛。 (提示：利用不等式 2 n n S x ≤ 1 1 − − − n n n n S S S S ) 14．设{an }为 Fibonacci 数列。证明级数∑ ∞ n=1 2n n a 收敛，并求其和。 （提示：利用 Fibonacci 数列的性质 an+1 = an + an−1 及 2 2 5 1 lim 1 < + = + →∞ n n n a a ） 习 题 9.4 1. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) ⑴ 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + 5 1 +…; ⑵ ∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x ≠ − n ）； ⑶ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n ; ⑸ ∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x ; ⑻ ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x ; ⑼ n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) ; ⑽ ∑ ∞ = + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 (3 2)(3 2) 1 ln 2 ( 1) n n n n n ; ⑾ ∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ; ⑿ ∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ( a > 0 ). 2. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散： ⑴ 1 + 2 1 - 3 1 + 4 1 + 5 1 - 6 1 + 7 1 + 8 1 - 9 1 +… ; ⑵ 1 - 2 1 + 3 1 + 4 1 - 5 1 + 6 1 + 7 1 - 8 1 + 9 1 + … 。 3. 设正项级数∑ 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证明： = 0。 ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 4. 若对任意ε ＞0 和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + … + xn+ p ｜＜ε 对一切 n＞N 成立，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n x 4
5.若级数∑xn收敛,lim l,问级数∑y是否收敛 7→ 6.设xn≥0,1imxn=0,问交错级数∑(-)xn是否收敛 7.设正项数列{xn}单调减少,且级数∑(-1)”xn发散。问级数 是否收敛?并 说明理由。 8.设级数∑收敛,则当a>a6时,级数∑加也收敛。 9.若(nxn}收敛,∑m(xn-xn)收敛,则级数∑xn收敛 10.若∑(xn-xn)绝对收敛,∑yn收敛,则级数∑xnyn收敛。 设f(x)在[-1上具有二阶连续导数,且 lim 0 证明级数立门)他对收 已知任意项级数发微,证明数(+也发 13设x01m川-1>0证明:交错级数∑(”x,收数 示:证明存在正数a,当n充分大时,数列{“x}单调减少) 14.利用 23 nn→y(n→>∞) 其中y是Eur常数(见例248),求下述(-) 的更序级数的和 1+ 325749116 15.利用级数的 Cauchy乘积证明: 1) a(区)E)∑m 习题95 1.讨论下述无穷乘积的收敛性
5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 6. 设 ≥0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并 说明理由。 8. 设级数∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛，则当α > α 0 时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 9. 若｛nxn ｝收敛，∑ 收敛，则级数∑ 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ n=1 n x 10. 若∑ 绝对收敛， 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n n x y 11．设 f (x) 在[−1,1]上具有二阶连续导数，且 0 ( ) lim 0 = → x f x x 。 证明级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 12. 已知任意项级数 ∑ 发散，证明级数 ∞ n=1 n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 也发散。 13. 设 ＞0， n n x lim n→∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 n 1 n x x ＞0，证明：交错级数 n 收敛。 n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) （提示：证明存在正数α ，当 n 充分大时，数列{n xn } α 单调减少） 14. 利用 1 + 2 1 + 3 1 + … + n 1 - ln n → γ ( n → ∞ )， 其中γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数的和： 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + … 。 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1) ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1； (2) ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q (｜q｜＜1 ) 。 习 题 9.5 1. 讨论下述无穷乘积的收敛性 ⑴ ∏ ∞ =1 +2 2 n n 1 n ; ⑵ ∏ ∞ = − + 2 1 1 n n n ; 5