第三章矩阵的运算 由于 4+a42++n4n=1i=j 0i≠ 可6*- 0. 0 0 0 AA=A'A= |A. =AE 00 只要A0,就有4（有A)=(有AA=B
第三章 矩阵的运算 可得： * * | | 0 0 0 | | 0 0 0 | | A A AA A A A E A = = = 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 i j i j in jn i j i j ni nj A i j a A a A a A i j A i j a A a A a A i j = + + + = = + + + = 由于 1 1 * * A A A A A E 0 ( ) ( ) A A 只 要 = = ，就有
第三章矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） 阶方阵A可逆A≠0，而且A A 证明 "="(充分) 已证 "→"（必要） 若A可逆，则存在A1,使得AA1=E 两边取行列式，得|AA1曰A‖A1曰E=1 所以 |A≠0
第三章 矩阵的运算 定理3.2.1（可逆的充分必要条件） . | | 1 | | 0 −1 = A A n阶方阵A可逆 A ，而且A 证明 ""(充分) 已证. ""(必要) 1 1 A A AA E − − 若 可逆，则存在 ，使得 = 两边取行列式，得 1 1 | | | || | | | 1 AA A A E − − = = = 所以 | A| 0
第三章矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B,使 AB=E或BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵 证明： 设AB=E 则|AB=A‖B=E=1 所以|A≠0，由定理可知，A可逆， 设其逆矩阵为A1,则有 B=EB=(A-A)B=A-(AB=A-E=A- 同理可证，若BA=E,则B=A1
第三章 矩阵的运算 推论 若A是n阶矩阵，且存在n阶矩阵B，使 AB=E 或 BA=E 则A可逆，且B为A的逆矩阵. 证明： 设AB=E 则 | | | || | | | 1 AB A B E = = = 所以 | | 0, A 由定理可知，A可逆. 设其逆矩阵为A -1 ,则有 B EB = = 1 ( ) A A B − 1 A AB ( ) − = 1 A E− = 同理可证，若BA=E，则 1 B A . − = 1 A − =
第三章矩阵的运算 12-1 例1判断A= 3 1 0 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 -1 0 -2 解： 由于A=9≠0，故A可逆，又 A1=-2,A21=4,A31=4, A12=-2,A22=-3,A32=-3 A13=1,A23=-2,A33=-5, 4 1 于是 9 9 -2 4 1 2 1 -3 -3 3 3 3 -2 -5 1 2 0
第三章 矩阵的运算 1 2 1 1 3 1 0 . 1 0 2 A − = − − 例 判断 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵 解： 由于 A = 9 0， 故 A 可逆，又 A11=-2， A21=4， A31=4， A12=-2， A22=-3， A32=-3 A13=1， A23=-2 ， A33=-5 ， 于是 1 * 2 4 1 1 1 6 3 3 9 1 2 5 A A A − − = = − − − − 2 4 1 9 9 9 2 1 1 3 3 3 1 2 5 9 9 9 − = − − − −
第三章矩阵的运算 逆矩阵的性质 (1)若A可逆，则A,A'亦可逆，且 (A)=A,(A)1=(A) (2)若A可逆，数1≠0，则2A可逆，且 (A=4 (3)若A,B均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)1=B1A1
第三章 矩阵的运算 逆矩阵的性质 ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) , ( ) ( ) . A A A A A A A − − − − − = = 若 可 逆 则 亦 可 逆 且 ( ) ( ) 1 1 2 , 0, , 1 . A A A A − − = 若 可 逆 数 则 可 逆 且 ( ) 1 1 1 3 , , , ( ) A B AB AB B A − − − = 若 均 可 逆 则 亦 可 逆 且