《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 由(5.17)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 x t( ) 0 = 因此,由解的存在唯一性定理知, x t( ) 0 即有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + + 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故解组 在 上线性相关, x t x t x t a t b 矛盾 注1: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性相关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 注2: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性无关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 即(5.15)n x t x t x t 个解 所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 0 任取t a b [ , ], 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 ( ) , ( ) , , ( ) 0 0 1 n x t x t x t = = = 1 2 ( ), ( ) , ( ); [ , ] n 的解x t x t x t t a b 且 0 1 0 2 0 0 ( ) [ ( ), ( ), ( )] 1 0 W t W x t x t x t = = n 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故 在 上线性无关. x t x t x t a t b
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4 通解结构及基本解组 定理6 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 如果 是(5.15)n个线性无关的 x t x t x t 解,则 1 ( ) n i i i x c x t = 1 2 n (1) (t)= 是(5.15)的通解, 其中c ,c , c 是任常数. 1 2 (2) (5.15) ( ) ( ), ( ) , ( ) n x t x t x t x t 的任一解 均可表为 的线性组合. 证明: 由已知条件, 1 ( ) n i i i x c x t n = (t)= 是(5.15)的解,它含 个任常数
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 又因为 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x c c c 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t = = W t( ) 0 , 故c ,c , c 彼此独立 1 2 n 1 ( ) n i i i x c x t = 于是 (t)= 是(5.15)的通解. (2) ( ) (5.15) 设 是 的任一解, x t 0 0 且x t x ( ) , = 1 2 ( ), ( ) , ( ) 5) n 因x t x t x t n 是(5.1 个线性无关的解, 从而可知 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性无关, x t x t x t
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 即它们构成n维线性空间的基, 0 0 故对向量x t x ( ) , = , 一定存在唯一确定常数c,c , c 满足 1 2 n 0 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (5.20) n n x t c x t c x t c x t = + + + 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解 由(5.20)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 0 0 x t x t x ( ) ( ) = = 因此,由解的存在唯一性定理,应有 x t x t ( ) ( ) 即 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + +