由（5.17）知，该解（t）满足初始条件x（t.）=0因此,由解的存在唯一性定理知，x(t)=0即有cx(t)+c,x(t)+..+cx.(t)=0,a<≤t<≤b故解组x(t),x(t)..,x,(t)在a≤t≤b上线性相关，矛盾注1：(5.15)n个解x(t),x(t).,x,(t)线性相关一W(t)=0,a≤t≤b注2（5.15)n个解x（t),x（t)..,x(t)线性无关一W(t)+0,a<≤t≤b即（5.15)n个解x(t),x(t)..,x(t)所构成的Wronsky行列式，或者恒等于零，或者恒不等于零二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 由(5.17)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 x t( ) 0 = 因此,由解的存在唯一性定理知, x t( ) 0 即有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + + 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故解组 在 上线性相关, x t x t x t a t b 矛盾 注1: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性相关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 注2: 1 2 ( ), ( ) , ( ) n (5.15)n个解 线性无关 x t x t x t W t a t b ( ) 0, . 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 即(5.15)n x t x t x t 个解 所构成的 Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零
(4）定理5（5.15）一定存在n个线性无关的解任取t。=[a,b],由解的存在唯一性定理知，证明：（5.15）一定存在满足初始条件0[1ToT001x(to)=x(to)xto：..LOL01的解x(t),x (t)..,x,(t);te[a,b]且W(to)=W[x(to),x2(to).x,(to))=1 +0故x(t),x(t).,x,(t)在a≤t≤b上线性无关A\《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页一市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 0 任取t a b [ , ], 由解的存在唯一性定理知, (5.15)一定存在满足初始条件 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 ( ) , ( ) , , ( ) 0 0 1 n x t x t x t = = = 1 2 ( ), ( ) , ( ); [ , ] n 的解x t x t x t t a b 且 0 1 0 2 0 0 ( ) [ ( ), ( ), ( )] 1 0 W t W x t x t x t = = n 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 故 在 上线性无关. x t x t x t a t b
4通解结构及基本解组如果x（t),x(t)..,x(t)是（5.15)n个线性无关的定理6n解,则(1) x(t)=c,x;()是(5. 15)的通解,福i-1其中c,C,…c是任常数(2)(5.15)的任一解x(t)均可表为x(t),x(t)..,x(t）的线性组合证明：#由已知条件，nx(t)=c,x(t)是(5. 15)的解,它含n个任常数,福i-lAM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二南结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4 通解结构及基本解组 定理6 1 2 ( ), ( ) , ( ) n 如果 是(5.15)n个线性无关的 x t x t x t 解,则 1 ( ) n i i i x c x t = 1 2 n (1) (t)= 是(5.15)的通解, 其中c ,c , c 是任常数. 1 2 (2) (5.15) ( ) ( ), ( ) , ( ) n x t x t x t x t 的任一解 均可表为 的线性组合. 证明: 由已知条件, 1 ( ) n i i i x c x t n = (t)= 是(5.15)的解,它含 个任常数
又因为x(t)Xi2(t)Xin(t)...X2n(t)x2.(t)X22(t)a(x,x,,xn)=W(t)+0·.a(ci,C2,...,cn)...xm(t)Xn2(t)xn(t)故c，C,..c彼此独立于是x(t)=c,x,(t)是(5.15)的通解il(2)设x(t)是(5.15)的任一解，且x(t)=xo,因x(t),x(t)..,x(t)是(5.15)n个线性无关的解从而可知数值向量组x（to）,x（t）,x（to）线性无关二教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 又因为 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n x x x c c c 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t = = W t( ) 0 , 故c ,c , c 彼此独立 1 2 n 1 ( ) n i i i x c x t = 于是 (t)= 是(5.15)的通解. (2) ( ) (5.15) 设 是 的任一解, x t 0 0 且x t x ( ) , = 1 2 ( ), ( ) , ( ) 5) n 因x t x t x t n 是(5.1 个线性无关的解, 从而可知 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性无关, x t x t x t
即它们构成n维线性空间的基,故对向量x(t)=xo,定存在唯确定常数c，C,,…C,满足x(to)=cjx(to)+c2x2(to)+...+cnx,(to),(5.20)现在考虑函数向量x(t)=cx(t)+cx(t)+...+c,x,(t)由定理2知,(t)是(5.15)的解由(5.20)知，该解x(t)满足初始条件(t)=x(t)=x因此,由解的存在唯一性定理,应有 x(t)=x(t)即x(t)=cx(t)+cx(t)+...+c,x,(t)二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页结束市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 即它们构成n维线性空间的基, 0 0 故对向量x t x ( ) , = , 一定存在唯一确定常数c,c , c 满足 1 2 n 0 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), (5.20) n n x t c x t c x t c x t = + + + 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解 由(5.20)知, 该解 满足初始条件 x t( ) 0 0 0 x t x t x ( ) ( ) = = 因此,由解的存在唯一性定理,应有 x t x t ( ) ( ) 即 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t = + + +