§2.3 恰当方程与积分因子 教学目的 理解恰当方程，积分因子的概念，掌握恰当方程的解法以及用积分因子求解方法。 教学要求 掌握恰当方程的解法以及积分因子的概念与用积分因子法求解。 教学重点 恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法 教学难点 积分因子的求法。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 在前二节，我们求解了变量可分离方程和一阶线性微分方程方程，当然还包 括能转化到这两种形式的一些方程。前面刀有的方法都是一元函数积分法，在本 节中，我们从二元函数及微分的角度来考察微分方程的求解问题，可增加可解方 程的类型 一． 恰当议程的定义与充要条件 设 u = u(x, y) 是一个连续可微的函数，则这它的全微分为 dy y u dx x u du + = 。 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) = + dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 0 t(x, y) = c 这也是一大类可求解的微分方程，下面将对这类情形进行详细讨论。 1．定义 若有函数 u(x, y), 使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy （0） 则称 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 （1）
是恰当方程。此时（1）的通解是 0 u(x, y) = c 如： xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + xy dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 都是恰当方程，因为函数 = + = + = + u x y f x dx g y dy u x y x y xy u x y x y ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 3 3 3 2 2 2 1 的全微分分别是这三个方程式的左端。它们的解分别是 u x y c i ( , ) = (i = 1,2,3) 但并不是所有的方程能很方便地找到 u(x, y) ，或者这样的 u(x, y) 就不存在， 所以有三个问题需要考虑： （1） 方程（1）是否为恰当方程。 （2） 若（1）是恰当方程，怎样求解。 （3） 若（1）不是恰当方程，有无可能转化为一个恰当方程来求解。 问题（1）和（2）已经有了完满的结论，而问题（3）反有一些充分条件需 要我们在求解微分方程的过程中不断探索和发展。 2．恰当方程的充要条件 定理 1 设函数 M (x, y) 和 N(x, y) 在一个矩形区域 R 中连续且有连续的一阶 偏导数，则方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 （1） 则恰当方程的充要条件是 x N x y y M x y = ( , ) ( , ) （2） 证 必要性 设（1）是一个恰当方程，则有函数 u(x, y) ，使得 dy M x y dx N x y dy y u dx x u du(x, y) = ( , ) + ( , ) + = 故有 y u N x y x u M x y = ( , ) = , ( , ) （3）
计算 u(x, y) 的二阶混合偏导数得 x N x y u y M y x u = = 2 2 , 由于 y x u 2 和 x y u 2 都是连续的,从而有 x y u y x u = 2 2 故(2)成立 充要性 设 M (x, y) 和 N(x, y) 满足(2),我们需要构造函数 u(x, y) 满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy (4) 也即满足 M x u = (5) N y u = (6) 我们从(5)出发,把 y 看作参数,解这个方程，得 u(x, y) = M (x, y)dx +( y) 这里 ( y) 是 y 的任意可微函数，我们现在来选择 ( y) ，使 u 同时满足（6）， 即 + = = N dy d y M x y dx y y u ( ) ( , ) 因此 = − M x y dx y N dy d y ( , ) ( ) （7） 我们证明（7）的右端与 x 无关，为此，只需证明（7）的右端对 x 的偏导数恒 等于零，事实上 − = − [ ( , ) ] [ M (x, y)dx] x x y N M x y dx y N x − = [ M (x, y)dx] x y x N
0 − = y M x N 于是，（7）右端的确只含有 y ，积分之，得到 = − M x y dx dy y ( y) (N ( , ) ] 故 = + − M x y dx dy y u(x, y) M (x, y)dx (N ( , ) ] （8） 即 u(x, y) 存在，从而（1）为恰当方程 注：若（1）为恰当方程，则其通解为 = + − M x y dx dy c y M (x, y)dx (N ( , ) ] ， c 为任常数 二． 恰当方程的求解 恰当方程的求解方法这里介绍三种，一种是定理充分性证明过程给出的公式 （8）—不定积分法，另一种是分组凑微法，还有一种是分式积分法 1．不定积分法 0 1 判断 Mdx + Ndy = 0 是否为恰当方程，若是，进下一步 0 2 求 u(x, y) = Mdx +( y) 0 3 由 N y u = ，求 ( y) 例1， 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程，并求它的通解 解：由于 M x y e y N x y x y x ( , ) = + , ( , ) = − 2sin x N y M = = 1 故所给方程是恰当方程 由于所求的函数 u(x, y) 满足 x y y u e y x u x , = − 2sin = +
由偏导数的定义知，只要将 y 看作常数，将 e y x + 对积分得 u(x, y) = (e + y)dx + ( y) = e + yx + ( y) x x 对 u(x, y) 关于 y 求偏导数得 ( y) 应满足方程为 x y dy d y x 2sin ( ) + = − 即 = dy d( y) − 2sin y 积分后得 ( y) = 2cos y 故 u x y e yx y x ( , ) = + + 2cos 从而，方程通解为 e yx y c x + + 2cos = 2．分组凑微法： 例 2．求方程 (3 6 ) (6 4 ) 0 2 2 2 3 x + xy dx + x y + y dy = 的通解 解：这里 2 2 2 3 M(x, y) = 3x + 6xy ,N(x, y) = 6x y + 4y 这时 x N xy y M = = 12 因此方程是恰当方程 把方程重新“分项组合”，得 3 4 (6 6 ) 0 2 3 2 2 x dx + y dy + xy dx + x ydy = 即 (3 3 ) 0 3 4 2 2 2 2 dx + dy + y dx + x dy = 或者写成 ( 3 ) 0 3 4 2 2 d x + y + x y = 于是方程通解为 x + y + x y = c 3 4 2 2 3 ， c 是任常数