§3.3 解过初值的连续性和可微性 教学目的 讨论解对初值的连续性与可微性定理，了解对参数的连续性定理 教学要求 理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。 教学重点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的条件及其证明 教学难点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的证明思想 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 真到现在,我们都是把初值 ( , ) 0 0 x y 看成固定的值,然后再研究初值问题 0 0 2 2 y(x ) y x y dx dy = = + (3.1 的解.当 d(x, y) 满足解的存在唯一定理和延拓定理时, (3.1)存在唯一解 y = (x),这个解是自变量 x 的函数,从几何上说,通过点( 0 0 x , y )的微分曲线有且 一条,当初值 0 x 和 0 y 变更时,对应解一般来说也要跟着变,所以(3.1)的解也应是 0 x , 0 y 的函数,方程 0 0 y(x ) y y dx dy = = 的解为 0 0 x x y y e − = ,它虽然是所有变量 0 0 x, x , y 的函数,也即(3.1)的解不仅依赖 于自变量 x,而且也依赖于初值( 0 0 x , y ),因此,考虑初值变化,解可以看作三个 变量 0 0 x, x , y 的函数.记为 ( , , ) 0 0 y = x x y
它满足 ( , , ) 0 0 0 0 y = x x y . 现在提出一个应用上很重要问题.当初值发生变化时,对应解是怎样变化的? 应用上需要,当初值 0 0 x , y 变化不大时,相应解也变化不大,这就是解对初值的连 续性,其确定义为 定义,初值问题 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = 的解 ( , , ) 0 0 y = x x y 在区间[ a,b]上相存在,如果对 0 点 ( ,a,b) 0 ,使得 对于满足 2 2 0 0 2 0 0 ( − ) + (( − ) − − x x y y 的一切 ( , ) 0 _ 0 x y ,初值问题 _ 0 _ 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = (*,*) 的 解 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y 都 在 [a,b] 上 存 在 , 并 且 | ( , , ) ( , , ) | , [ , ] 0 0 _ 0 _ y = x x0 y − y = x x y x a b 则称初值(*,*)的解 在点( 0, 0 x y )连续依赖于初值 ( , ) _ 0 _ 0 x y 一,解关于初值的对称性 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y
定理,设方程(3.1)满足初值问题 0 0 y(x ) = y 解的唯一的,记为 ( , , ) 0 0 y = x x y ,则 在此表达工中,(x,y)与( 0 0 x , y )可以调换其相对位置,即任解的存在范围成立着 关系式 ( , , ) 0 y = x x y 分析:要证 ( , , ) y = x x0 y0 有 ( , , ) 0 y = x x y ,即对(3.1)过点( 0, 0 x y )的解 存在范围内任点 1 x 由 ( , , ) 1 0 0 y = x x y 有 ( , ) y0 = x0 x1 y1 可看作为(3.1)过点 ( , ) 1 1 x y 的解.问题相易于证明,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 解也过( 0, 0 x y ),由解的唯一 性,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 与过( 0, 0 x y )表同一积分曲线,从而 分析：定理要求， 0, 取充分小的正数 ，使闭域 D：a x b,| y −(x, x0 , y0 ) | 整个在 G 内选取 0, 使闭域 R：(x－x 0 ) 2 0 2 +( y − y ) 2 在 D 内， 定理相当于要求证明（3.1）过 R 内任一点（ 0 0 x , y ）解为 y = (x, 0 0 x , y ) 边在 D 内，记 y = (x, 0 0 x , y ）= ，不应证| − |< , x [a,b] 估计| − |需用引理，从而要求 f(x,y)在 D 内满足 Lipschite 条件，由有限 复盖定理，这是可以做到的 | (x) −(x) | | ( ) ( ) 0 0 x − x |e ( ) 0 L x−x ( | ( ) ( )| | ( ) ( ) | 0 0 0 0 x − x + x − x )e L(b−a) =| | | ( ) ( ) | 0 0 0 0 y − y + x − x e L(b−a) ( ) 0 ( | ( ) ( )|) L b a x x e − + − 0 0 1 |(x ) −(x )| ,选取 min{ , } 1 2 ，对 1 连续性， 2 ，当| 0 0 2 | x − x | 时 | ( ) ( ) | 0 0 x − x < 1 = ( − ) 2 1 L b a e ，=> ( ) 1 2 1 L b a e − − = 由 y= ( , , ) 0 0 x x y 不能越过曲线 y= ( , , ) 0 0 x x y + , y= ( , , ) 0 0 x x y － ,但由解延 拓定理，y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到无限接近 G 的边界，于是向右只能 x=b 穿出 D， 可在[x 0 ,b]有定义
Proof: 对积分曲线取 S：y= ( , , ) 0 0 x x y (x), a x b,满足 xy 平面上一 个有界闭集，由有限复盖定理实现条件 0, 有充分小的正数 ，使闭域 D: ,| −( , , ) | 0 0 a x b y x x y 整个在 G 内，且 f(x,y)在 D 内满足 Lipschite 条件，Lipschite 常数为 L， 因 = − + − + = − − − + − = − + − = − − − − − − − − − ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 1 ( ) 1 (| | | ( ) ( ) |) ( ) 2 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | (| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |) (3.1) ( , ) ( , , ) ( ), 0 min{ , }, : ( ) ( ) , 0, | | | ( ) ( ) | , 2 1 ( ) [ , ] 0 L b a L b a L b a L x x L b a L b a y y x x e e e x x x x e x x x x e D ， R x y y x x y x R x x y y x a b ， e x x ， x x 整个 内 过 内任一点 解 由引理 取 满足 使闭域 在 连续 故对 仅当 时 （3.21）上式在 （x, 0 0 x , y ）有定义区间上成立。 由解的延拓定理，(3.1)过（ 0 0 x , y ）解 y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到到区域 D 的边界上，设它在边界上点为（c, (c) ）,( (d,(d)), c d, 下面证明 c a,d b,若不然c a,d b,则由(3.21) | (c) −(c) |, | (d) −(d) | 即(c, (c),(d,(d))在D内， 与它为D的边界上有矛盾。 故 仅当 时 （ ）在 上有定义 从 在 上成立 这就证明了 = − + − = 2 0 0 2 0 0 0 0 ( , , ), ( ) ( ) , , [ , ] (3.21) [ , ] 0, a b x x y y y x x y a b ， a b 。 (3.1)过 (x0 , y0 )解y =(x, x0 , y0 )在[a,b]有定义， 且 y0 = (x0 , x1 , y1 )， 由
(x1 , y1 )的任意性， 即可证明。 Proof.在(3.1)满足 y(x 0 )=y 0 的解存在区间内任取一值 x , ( , , ), 1 1 1 0 0 记y = x x y 则 由解的唯一性知，(3.1)过点( 1 1 x , y )与过点 ( , ) 0 0 x y 的解是同一条积分曲线，即此 解也可写成 ( , , ) 1 1 y = x x y 且显然有 ( , , ) 0 0 1 1 y = x x y ，由点 ( 1 1 x , y ) 积分曲线上任一点因此关系式 ( , , ) 0 0 y = x x y 对该积分曲线上任意点( x , y )均成立。 二．解对初值的连续依赖性 先看方程 y dx dy = 满足 y(x0 ) = y0的解y = y0 e x−x0 ,显然它是自变量x, x0 , y0的连续可微函数 ，下面 说明这一事实，为此先证明如下引理 1． 引理 如果函数 f(x,y)于某域 D 内连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，则方程(3.1)的任意两个解 (x)及(x) ，在它的公共存在区间 内成立着不等式 | | 0 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | L x x x x x x e − − − (3.20) 其中 x 0 为所考虑区间内的某一值。 分析 令 V(x) = ((x) −(x)) 2 ,则(3.20)转化为 2 | | 0 0 ( ) ( ) L x x V x V x e − 即应证 2 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) L x x x x ，V x V x e − 时