§4.2 常系数线性方程的解法 教学目的 本章主要讨论常系数线性方程的解法。 教学要求 掌握常系数线性方程的一些解法 教学重点 常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法；常系数非齐次线性方程的比较系 数法与常系数线性方程拉普拉斯变换法。 教学难点 特征根法和待定系数法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体 给出,事实上,对一般的线性方程是没普通的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的 方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍 可化为常系数齐线性方程的解法,对于一些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分 运算术得它的通解. 讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为 此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数 如 果 (t)和(t) 是 区 间 a t b 上定义的实函数 , 我们称 ( ) ( ) ( ),( 1) 2 z t = t + i t i = − 为区间 a t b 上的复值函数. 若 (t), (t) 在 a t b 上连续,则称 z(t)在 a t b 上连续. 若 (t), (t) 在 a t b 上可微,则称 z(t)在 a t b 上可微.且 z(t)的导数为: , dt d i dt d dt dz = + 复函数求导法则与实函数相同. 2,复指数函数 定 义 : ) 2! ! ( ) (cos sin )( 1 2 = = ( + ) = + 由公式 = + + ++ +可得 n x x z t e e e t i t e x n kt i t t x 欧
拉公式: = − = + − − ( ) 2 1 sin ( ) 2 1 cos i t i t i t i t e e i t t e e 性质:①, kt kt e = e ②, k k t k t k t e e e 1 2 1 2 ( ) = + ③, kt kt e ke dt d = ④, kt n kt n n e k e dt d = 2. 复值解. ⑴定义:定义于区间 a x b 上的实变量复值函数 x = z(t) 称为方程(4.1)的复值解,如果 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t z t f t dt dz t a t dt d z t a t dt d z t n n n n n n + + + − + − − 对于恒成立 对线性方程的复值解有下面的两个结论 ⑵定理 8. 如果方程 (4.2) 的 所 有 系 数 a (t)(i 1,2, ,n) i = 都 是 实 值 函 数 , 而 x = z(t) =(t) + i (t) 是方程的复值解,则 z(t)的实部 (t) 和虚部 (t) 及 z(t)的共轭复数 也都是方程(4.2)的解. ⑶定理 9 若方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x u t iv t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = + − − 有复值解 x = u(t) + iv(t) ,这里 a (t)(i 1,2,.,n) i = 及 u(t), v(t) 都不能是实函数 ,那么些这个解的实 部 u(t) 和虚部 v(t) 分别是方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x u t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = − − 和 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x v t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = − − 的解. 二. 常系数齐线性方程和欧拉方程 1.考虑方程 [ ] ( ) 0 1 1 + 1 + + = − − a t x dt d x a dt d x L x n n n n n (4.19) 其中 a a an , , , 1 2 为常数, 称(4.19)为 n 阶常系数齐线性方程 下面讨论(4.19)的解法,由上节给出的理论,为了求(4.19)的通解,只要求出它的基本解组, 下面介绍求(4.19)基本解组的 Euler 待定指数函数法. 我们知道,一阶常系数齐线性方程 + ax = 0 dt dx 有通解 at x ce − = ,因此,对于方程(4.19)我 们也尝试求指数函数形式的解 t x e = (4.20) 其中 是待定常驻机构数,可以是实的, 也可以是复的,把它代入方程(4.19)得: [ ] ( ) 0 1 = + 1 + + = − t n t n n L e a a e 因此, t e 为 (4.19)的解的关系条件是: 是代数方程 ( ) 0 1 + 1 + + = − n n n F a a (4.21) 的根
方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根. 这样求方程(4.19)的解问题,便归结为求方程(4.19)的特征根问题了.下面我们根据特征根 的不同情况分别加以讨论. ⑴. 特征根是单根的情形 设 n , , , 1 2 是特征方程(4.21)的 n 个彼此不相等的特征根,则相应地方程(4.19)有如下 n 个 解 t t t n e e e , , , 1 2 (4.22) 由 于 + + − − + + − − − − = = = j i n i j t n n n t n n t n n t n t t n t t t t t t t n n n n n n e e e e e e e e e e e w e e 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) 0 1 1 [ , , ] 1 1 1 2 1 2 1 2 1 故解组(4.22)线性无关. 若 (i 1,2, ,n) i = 均为实数,则(4.22)是方程(4.19)的基本解组,从而(4.19) 的通 解为 t n t n x t c e c e = ++ 1 1 ( ) 其中 n c ,c , ,c 1 2 为任常数. 若 (i 1,2, ,n) i = 中有复数, 则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现,设 1 = + i 是特征根, 则 2 = −i 也是特征根, 相 应地 方程(4.19) 有两 个 复 值 解 : (cos sin ) ( ) e e t i t i t t = + + , (cos sin ) ( ) e e t i t i t t = − − . 由定理 8 知,它的实部和虚部也是方程的解,这样一来,对应于方程的一对共轭复根为 = i ,由此求得(4.19)的两个实值解为 e t e t t t cos , sin . ⑵特征根有重根的情形 设特征方程有 K 重根 = 1 , 则有 ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 0. 1 1 ( 1) 1 ' 1 = = = = − k k F F F F 下面我们分和两种情形加以讨论. (a) 0, 1 = 则特征方程有因子 k ,因此 1 1 0 0, an = an− == an−k + = an−k , 从而特征 方程有如下形式 0 1 + 1 + + − = − k n k n n a a , 而对应方程 (4.19) 变 为 0 1 1 + 1 + + − = − − k k n n k n n n dt d x a dt d x a dt d x 显然它有 K 个解 1,t,t2 ,.,tk-1 ,而且它们是线 性无关的,从而可得:特征方程的 K 重零根对应着方程(4.19)的 K 个线性无关的解 1,t,t2 ,.,tk-1 . (b) 0, 1 作变换 , 1 t x ye = 并代入方程 (4.19, 经 整 理 得 到
t t n n n n n t b y e L y e dt d y b dt d y L ye 1 1 1 [ ] ( ) [ ] 1 1 1 = + + + = − − 于是方程 (4.19) 化 [ ] ( ) 0,(4.23) 1 1 1 1 = + 1 + + = − − t n n n n n t b y e dt d y b dt d y L ye 为 其 中 b b bn , , , 1 2 仍 为 常数, 方程 (4.23) 相 应 特 征 方 程为 ( ) 0(4.24) 1 1 + 1 + + − + = − n n n n G b b b 直接 计算易得: t t t t t F e L e L e e G e ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( ) [ ] [ ] ( ) + + + + = = = ,因此, F G F G j k j j ( ) ( ), ( ) ( ), 1,2, , ( ) 1 ( ) + 1 = 从而有 + = = 可见(4.21 的 K 重根 1 对应着(4.24 的 K 重零根,这样就把问题转化为前面讨论过的情形. 由前面的讨论我们知道,方程(4.24)K1 重零根对应着方程(4.23)K1 个解 1,t,t2 ,., 1 k1 − t .因 而对应着方程(4.19 的 K1 个解 , , , (4.25) 1 1 1 1 t t n t e te t e − 类似地,假设方程(4.21)的其 他 根 m , , , 2 3 的 重 数 依 次 为 , , , ; 1, k2 k3 km ki 而 且 , ( ), 1 2 k k k n i j + ++ m = i j 则方程(4.19 相应有解 , , , , , 2 2 2 2 2 1 2 t t t k t e te t e t e − (4.26) , , , , , mt mt 2 mt km 1 mt e te t e t e − 下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组.为此,只要证明这些函数线性 无 关 , 事实上 , 假设这些函数线性相关 , 则存在不全为零的常数 (r) Cj 使 得 [ ] ( ) 0 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 0 + + + − − = − − m r t r m r r k k r r r r r r c c t c t e p t e (4.27)不失一般性,假设多 项式 pm(t)至少有一个系数不等于零,即 Pm(t) 0,将恒等式(4.27)除以 t e 1 ,然后对 t 微分 K 次 得 ( ) 0 2 ( ) 1 = − m r t r r Q t e (4.28) 其中 Qr(t)= ( ) ( ) ( ) 1 p t s t r r k r − + , s (t) r 为项数低 于 pr(t)的项数的多项式.因此,Qr(t)与 Pr(t)项数相同,且 Qm(t) 0. 恒等式(4.25)与(4.27)类似,但 项数减少了.如果对(4.28)实施同样的方法.我们将得到项数更少的是类似于(4.27)的恒等式 ( ) 0 ( ) 1 − − t m m m R t e ,注意到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 R t p t w t m m k m m k m k m m m − − − + − − 其 中 w (t) m 是 项 数 低 于
p (t) m 的项数的多项式,因 R (t) m 与 p (t) m 有相同的项数,且 R (t) m 0,矛盾.这就证明了(4.25) 和(4.26)的全部 n 个解线性无关.即为方程的基本解组. 对于特征方程有复根的情况,例如有 K 重根 = + i ,则 = − i 也是 K 重复根,如 同单复根对那样 , 我们也可以把方程 (4.19) 的 2K 个复值解换成 2K 个 实 值 解 cos , cos , , cos , 1 e t te t t e t t t k t − sin , sin , , sin . 1 e t te t t e t t t k t − (3).求方程(4.19)通解的步骤 第一步:求(4.19)的特征方程及特征根 n , , , 1 2 . 第二步:计算方程(4.19)相应的解 (a) 对每一个实单根 k ,方程有解 t k e . (b) 对每一个 m>1 重实根 k ,方程有 m 个解 t k e , t k te ,., m t k t e −1 . (c) 对每一个重数是一的共轭复数 i ,方程有两个为下形的解 e t t cos , e t t sin . (d) 对每一个重数是 m>1 的共轭复根 i ,方程有 2m 个为下形式的解: cos , cos , , cos , 1 e t te t t e t t t m t − 和 sin , sin , , sin . 1 e t te t t e t t t m t − 第三步 : 根据第二步中的(a),(b),(c),(d)写出方程(4.19)的基本解绥及通解. 例 1 求方程 3 4 0 2 2 3 3 − + x = dt d x dt d x 的通解. 解:特征方程 3 4 ( 1)( 2) 0 3 2 2 − + = + − = 有根 1, 2. 1 = − 2,3 = 1 是单根, 2,3 是二重根.因此有解 , , , t 2t 2t e e te − 其通解为 t t t x c e c e c te2 3 2 = 1 + 2 + − ,这里的 1 2 3 c ,c ,c 是任常数. 例 2 求方程 0 4 4 − x = dt d x 的通解. 解: 特征方程 1 0 4 − = 有根 = = − = i = −i 1 2 3 4 1, 1, , ,有两个实根和两个虚根,均是单 根.故方程的通解为 x t c e c e c t c t t t ( ) = 1 + 2 + 3 cos + 4 sin − ,这里的 1 2 3 c ,c ,c 是任常数. 例 3 求方程 3 3 0 2 2 3 3 4 4 − + − = dt dx dt d x dt d x dt d x 的通解. 解: 特征方程 3 3 ( 1) 0 4 3 2 3 − + − = − = 有根 0, 1, 1 = 2 = ,其中 1 = 0 是单根, 2 =1 是三重根,故方程的通解为 t x c (c c t c t )e 2 = 1 + 2 + 3 + 4 ,这里的 1 2 3 c ,c ,c 是任常数