2.3恰当方程与积分因子恰当方程的定义及条件、恰当方程的求解三、积分因子A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页结束一市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2.3 恰当方程与积分因子 二、恰当方程的求解 一、恰当方程的定义及条件 三、积分因子
接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型dy为此，将一阶正规微分方程fxy）改写成f（xy）dx-dy=0dx或更一般地，M(xy）dx+N(xy）dy=O的形式.由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在于既可以把看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看成未知函数，看成自变量.即变量x与变量v在方程中的地位是对称的，因此也常称形式为M(xy）dx+N(xy）dy=0的方程为对称形式的微方程A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 称形式为 的方程为对称形式的微分方程． 自变量．即变量 与变量 在方程中的地位是对称的，因此也常 成未知函数， 看成自变量；也可以把 看成未知函数， 看 成 以看到，把微分方程写成这种形式的优点在于：既可以把 看 或更一般地， 的形式．由前面的例子可 为此，将一阶正规微分方 程 改写成 ， 接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型． ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 + = + = = − = M x y dx N x y dy x y x x y y M x y dx N x y dy f x y f x y dx dy dx dy
一、恰当方程的定义及条件设u=uxy）是一个连续可微的函数则它的全微分为Ououdu=ddx+axOy如果我们恰好碰见了方程Ou(x,y)Ou(x,y)dx+dy=0axay就可以马上写出它的隐式解u(x, y) = c.A二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、恰当方程的定义及条件 设u = u(x, y)是一个连续可微的函数,则它的全微分为 dy y u dx x u du + = 如果我们恰好碰见了方程 0 ( , ) ( , ) = + dy y u x y dx x u x y 就可以马上写出它的隐式解 u(x, y) = c
1恰当方程的定义若有函数u(x,y),使得定义1du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy则称微分方程(1)M(x,y)dx+N(x,y)dy=O,是恰当方程.此时(1)的通解为u(x,y)=c如d(xy) = xdy+ ydx = 0d(xy+xy)=(3xy+y)dx+(x3+2xy)dy=0d(J f(x)dx+ [ g(y)dy)= f(x)dx + g(y)dy = 0是恰当方程AM《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页市结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 定义1 若有函数u(x, y),使得 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy 则称微分方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 是恰当方程. 此时(1)的通解为u(x, y) = c. 如 xdy + ydx = 0 (3 ) ( 2 ) 0 2 2 3 x y + y dx + x + x y dy = f (x)dx + g( y)dy = 0 是恰当方程. d(xy) = ( + ) = 3 2 d x y x y+ = d( f (x)dx g( y)d y) 1 恰当方程的定义
(1)M(x.y)dx+N(x,y)dy=0需考虑的问题（1）方程（1）是否为恰当方程？（2）若（1）是恰当方程，怎样求解？（3）若（1）不是恰当方程，有无可能转化为恰当方程求解？2方程为恰当方程的充要条件定理1设函数M(xy）和N(x,y）在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数则方程(1)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,为恰当方程的充要条件是aM(x,y)aN(x,y)(2).axayA二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 需考虑的问题 (1) 方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程,怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程 设函数 和 在一个矩形区 , ( , ) ( , ) R M x y N x y M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) 为恰当方程的充要条件是 , (2). ( , ) ( , ) x N x y y M x y = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)