第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为y=x2+y2，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理,83.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。教学要求熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，教学重点Picard存在唯一性定理及其证明
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 教学目的 讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定 理，解对参数的连续性定理 教学要求 掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可 微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。 教学重点 几个主要定理的条件及其证明 教学难点 逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解 及其求法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。 但是，对许多微分方程，为 2 2 y' = x + y ，不可能通过初等积分法求解，这就产生 了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者 说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否 是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的 进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定 理， §3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学目的 讨论 Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解 对初值的连续性与可微性定理。 教学要求 熟练掌握 Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性 定理及其证明，会用 Picard 逼近法求近似解， 教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明
教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。存在唯一性定理1.定理1，考虑初值问题[=f(x,y)dx(3.1)((x0)= yo其中f(x,y)在矩形区域(3.2)R：x-xo飞aly-yb上连续，并且对y满足Lipsthits条件：即存在常数L>O，使对所有(x,y),(x,y)eR常存成立,If(x,y)-f(x,y)ly-/则初值问题（cauchy问题）（3.1）在区间|x-x。下h上解存在唯一，这里b), M = max I (x,y)Ih = min( a,M(x,y)eR证明思路：1.初值问题（3.1)的解存在等价一动积分方程y=%+』f(x,y)d)（3.5）的连续解。2.构造（3.5）所得解函数序列（g，（x))任取一连续函数(x)，lp(x-y)b代入（3.5）左端的y，得P(x) = yo + f(x, p(x)dx p,(x) p,(x)Pn(x) = yo + f" f(x, ,(x)dx, n= 1,2...3.函数序列(,(x))在|x。-h,x。+hl上一致收敛到(x)。这里为3lim (x)yo + lim f f(x,9,(x)dx
教学难点 逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一． 存在唯一性定理 1．定理 1，考虑初值问题 f (x, y) dx dy = （3.1） 0 0 y(x ) = y 其中 f(x,y)在矩形区域 R： | x − x0 | a,| y − y0 | b （3.2） 上连续，并且对 y 满足 Lipsthits 条件：即存在常数 L>0，使 对所有 (x, y1 ),(x, y2 )R 常存成立， | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y − f x y L y − y 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间 | x − x0 | h 上解存在唯一，这里 min( , ), max | ( , ) | ( , ) M f x y M b h a x y R = = 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程 = + x x y y f x y dy 0 ( , ) 0 （3.5）的连续解。 2.构造（3.5）所得解函数序列{ (x) n } 任取一连续函数 ( ) 0 x ， |0 (x − y0 ) | b 代入（ 3.5 ）左端的 y ， 得 = + x x x y f x x dx 0 ( ) ( , ( )) 1 0 (x) n (x) n ( ) ( , ( )) , 1,2 0 1 = 0 + = + x y f x x dx n x x n n 3.函数序列{ (x) n }在 | , | x0 − h x0 + h 上一致收敛到 (x) 。这里为 3 → → + x x n n n x y f x x dx 0 lim ( ) lim ( , ( )) 0
= yo +f" lim f(x,p,(x)dx即,(x)=o + lim f(x,,(x)则需(x,P,(x)F(x,p(x)由则需由 于If(x,,(x)-f(x,p (x)p,-p(x)1P,(x)≤p(xo)(x)+(;(x)--(x)=,()从而(:(n)在[x-h,x +上的一收敛性等k=l价于函数项级数o(x)+(,(x)-m-(x)在[x-h,x +h)一收敛性。4.（x)为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间[xo,xo+h]是讨论，在[x-h,xo上类似。命题3.1初值问题（3.1）等价于积分方程(3,5)y= yo +[ f(x, y)dxProof:若y=p(x)为（3.1）的解，则：[dg(x) = f(x,p(x)dx(x0)= yo对第一式从x。到x取定积分可得0(x)-0(x0)=[ (x,0(x)dx即 p(x) = yo + " f(x,0(x)dx反之，若y=(x)为（3.5）的连续解。，则有p(x)= yo + f" (x,0(x)dx由于对f(x,y)在R上连续，从而f(x,o(x))连续故对上两式两边求导得do(α) = f(x, (x)dx且p(xo)=y+f(x,(x)dx=y即p(x)=y为（3. 1)的连续解。下面取p(x）=y，构造picard逐步逼近函数如下：
= y f x x dx n x x n lim ( , ( )) 0 0 → + 即 ( ) lim ( , ( )) 0 0 x y f x x n x x n n → = + 则 需 f (x, (x)) f (x, (x)) n 由 | f (x, (x)) f (x, (x)) | | (x) | n − n − 则 需 ( ) ( ) 0 x x b 由 于 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 0 1 x x x x n n k + k − k = = − 从而{ (x) k }在 [ , ] x0 − h x0 + h 上的一收敛性等 价于函数项级数 = + − − 1 0 1 ( ) ( ( ) ( )) n n n x x x 在 [ , ] x0 − h x0 + h 一收敛性。 4． (x) 为（3.5）的连续解且唯一。首先在区间 [ , ] x0 x0 + h 是讨论，在 0 0 [x − h, x 上类似。 命题 3.1 初值问题（3.1）等价于积分方程 = + x x y y f x y dx 0 ( , ) 0 （3，5） Proof:若 y = (x) 为（3.1）的解，则： = = 0 0 ( ) ( , ( )) ( ) x y f x x dx d x 对第一式从 0 x 到 x 取定积分可得 − x x x x f x x dx 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 即 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 反之，若 y = (x) 为（3.5）的连续解。，则有 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 由于对 f(x,y)在 R 上连续，从而 f (x,(x)) 连续故对上两式两边求导得 ( , ( )) ( ) f x x dx d x = 且 0 0 0 ( ) ( , ( )) 0 x y f x x dx y x x = + = 即 (x) = y 为（3.1）的连续解。 下面取 0 0 (x ) = y ，构造 picard 逐步逼近函数如下：
p(xo)= y(3.7),(x)= yo + " f(5,Pm-1(5)ds, xo ≤x≤ xo + h,n=1,2...命题2，对于所有n和xE[x,%+h],g,(α)；连续且满足Ig,(x)-<bProof(用数学归纳法证明)N=1时，(x)=y+f(5,y)d,虽然在[x,+h]上连续且10(x)-yo Hff(5, yo)dsi f(5, y)d≤M(x-xo)≤Mh≤b设命题2为n=k时成立即(x)在[x,x+h]上连续，且|,(x)-yb当n=k+1时Pk(x)=yo+f(5,yo)ds,由f(x,y)在 R上连续可知，f(x,P(x)在[xo,xo+h)上连续从而k+1(x)在[x,+h]上连续且1Pk1(x)- y H / f(5,P (x)d[i f(5, yo)d=≤M(x- xo)≤ Mh≤b而命题2，在n=k=1时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n成立命题3。函数序列(x)在[x,+h]上一致收敛Proof:考虑函数级数：90()+Z(0;(x) - x-(x) = 9,(x),x [x0,xo + h)(3.9)z]它前几项和为s,(x) = o(x)+Z(p:(x)-Px-(x) = P,(x)k于是（g,(x))一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9的通项进行话计
( ) ( , ( )) , , 1,2 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 = + + = = x y f − d x x x h n x y x x n n （3.7） 命题 2，对于所有 0 0 [ , ], ( ) n n和x x x h x + ；连续且满足 0 | ( ) | n x y b − Proof(用数学归纳法证明) N=1 时， = + x x x y f y d 0 ( ) ( , ) , 1 0 0 虽然在 0 0 [ , ] x x h + 上连续且 x y f y d f y d M x x Mh b z z z z − = − | ( ) | | ( , ) | ( , ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 设命题 2 为 n = k 时成立即 (x) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续，且 |h (x) − y0 | b 当 n = k +1 时 + = + x x k x y f y d 0 ( ) ( , ) , 1 0 0 由 f (x, y) 在 R 上连续可知， f (x, (x)) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续从而 ( ) 1 x k+ 在 0 0 [ , ] x x h + 上连续且 x y f x d f y d M x x Mh b z z z z k − = k − + | ( ) | | ( , ( )) | ( , ) ( ) 1 0 0 0 0 0 而命题 2，在 n = k =1 时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有 n 成立 命题 3。函数序列 (x) k 在 0 0 [ , ] x x h + 上一致收敛 Proof:考虑函数级数： ( ) ( ( ) ( )) ( ), [ , ] 0 0 1 0 x x 1 x n x x x x h n + k − k = + = − （3.9） 它前几项和为 ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 1 0 1 s x x x x x n m k n = + k − k = = − 于是{ (x) n }一致收敛性等于（级数 3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9） 的通项进行诂计
1 (x)-Po(x)< [f(E,Po()d= = Pn(x)12(x) -(x) ff(5,()-f(5,P0()d)<L"10(x)-o(x)Id≤L1 02()-0(n)]d5=(x-x0)2其中第二个方程不等式是由Lipsthits条件得到的，高对正整数n有不等式10,()-0-()k MM(x-x0)"则当x≤x≤xo+h时，由Lipsthits条件有1Pn+1(x)-P,(x)F f(5,P,()-f(5,Pn+1(E)d≤ LLf1g (x)-P0(x)Id:(5-x)"ds=MI"ML(x-x。)"1(n + 1)!7于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n有10,()--(n) M"(x-xo)"+(3.11)Xo≤x≤xo+h(n+ 1)!从而当x≤x≤x+h时ML"-I19, (x)-Pm-()h(n+ I)!之M=n"收敛，由weierstrass判别法知，级数（3.9）在由于正级数台(n+1)[xo,。+h,]一致收敛，因而（p,(x)]在[xo,x。+h,]上一致收敛。现设lim,(x)=(x)，x≤x≤x+h则由p,(x)连续性和一致收敛性得 (x)在[xo,x+h,]上连续且/p(x)-<b命题4.,(x)是积分方程(3.5)的定义于[xo,X。+h,]上的连续解Proof:由Lipschits条件
2 2 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( , ( )) ( , ( ) ) | ( ) ( ) | ( , ( )) ( ) 0 0 0 0 x x ML L x x d L x x d x x f f d x x f d x x x x x x x n x x − = − − − − − = 其中第二个方程不等式是由 Lipsthits 条件得到的，高对正整数 n 有不等式 n n n n x x M ML | (x) (x) | ( ) 0 1 − 1 − − − 则当 x0 x x0 + h 时，由 Lipsthits 条件有 1 0 0 1 1 0 1 1 ( ) ( 1)! ( ) ! | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( , ( )) ( , ( ) 0 0 0 + − + + − + − = − − − n n n x x n x x n x x n n n x x n ML x d n ML LL x x d x x f f d 于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数 n 有 1 0 1 1 ( ) ( 1)! | ( ) ( ) | + − − − + − n n n n x x n ML x x x0 x x0 + h （3.11） 从而当 x0 x x0 + h 时 n n n n h n ML x x ( 1)! | ( ) ( ) | 1 1 + − − − 由于正级数 = − 1 + 1 ( 1)! n n n h n ML 收敛，由 weierstrass 判别法知，级数（3.9）在 [ , ,] x0 x0 + h 一致收敛，因而{ (x) n }在 [ , ,] x0 x0 + h 上一致收敛。 现设 lim (x) (x) n n = → ， x0 x x0 + h 则由 (x) n 连续性和一致收敛性得 (x) 在 [ , ,] x0 x0 + h 上连续且 |(x) − y0 | b 命题 4. (x) n 是积分方程(3.5)的定义于 [ , ,] x0 x0 + h 上的连续解. Proof:由 Lipschits 条件