广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第五章 线性微分方程组 5.2 线性微分方程组的一般理论

例2证明：函数向量组21et0ee31x;(t)=0 , x (0)=e3t,xg(t)=e~0在（-00,+00）上线性无关证明：要使2t0eeo=00+C2+C3cx(t)+cx(t)+cx(t)=C0MA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上一真结束首页二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明: 要使 1 1 2 2 3 3 c x t c x t c x t ( ) ( ) ( ) + + 2 3 3 1 2 3 0 0 1 0 t t t t t e e c c e c e e −             = + +                    0 例2 证明:函数向量组 1 ( ) 0 , t t e x t e −     =       3 2 0 ( ) , 1 t x t e     =       在(- ,+ )上线性无关.   2 3 3 ( ) , 0 t t e x t e     =      

则需e2,e'070Ce31e30=0C2-8<t<+8ev1010Ce21e'0因为e3e30=-2e"+0,Vt0lev1所以C=C2=C=0故x(),x(),x,(t)线性无关AM教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 1 3 3 2 3 0 0 0 0 , 1 0 0 t t t t t e e c e e c t e c −           = −    +                则需 因为 2 3 3 0 0 1 0 t t t t t e e e e e − 4 2 t = − e  0, 所以 1 2 3 c c c = = = 0, 1 2 3 故 x t x t x t ( ), ( ), ( ) 线性无关. t

3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式设有n个定义在a≤t≤b上的向量函数Xin(t)X(t)Xi2(t)X2(t)X2n(t)X22(t)x(t)=x(0)=x(t).xm(t)x2(t)xm(t)nn由这n个向量函数所构成的行列式Xin(t)X12(t)x.(t)X22(t)X2n(t)2i(t)·W[x(t),x,(t),...x,(t)]=W(t)..-...Xm(t)Xn2(t)xm(t)称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式I《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n a t b 个定义在   上的向量函数 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t             = = =                               由这n个向量函数所构成的行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) , ( ) ( ) ( ) n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t  称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式

(2）定理3如果向量函数x(),x()..,x)在a≤t<b上线性相关则它们的Wronsky行列式W（t）=O,a≤t≤b证明：因x(t),x(t).,x(t)在a≤t<b上线性相关从而存在不全为零的常数c,,…,C，使cx(t)+c,x,()+...+c,x,(t)=0,a<t<b故对任一确定的t。=[a,b],有xi(to)+cx(to)+...+c,x,(to)=0即常向量组x(to),xz(to),x,(t)线性相关,故W(t)=0,由t的任意性有w(t)=0a≤t≤b二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院T结束首页市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (2)定理3 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t a t b W t a t b      如果向量函数 在 上 线性相关 则它们的Wronsky行列式 证明: 1 2 ( ), ( ) , ( ) , n 因 在 上线性相关 x t x t x t a t b  1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使 c c c 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t a t b + + +    0 故对任一确定的 有 t a b [ , ], 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 即常向量组 线性 x t x t x t 0 故W t( ) 0, = 0 由 的任意性 t 有W t a t b ( ) 0, .    1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, n n c x t c x t c x t + + + = 相关

(3)定理4如果（5.15）的解x(t),x(t).,x(t)线性无关则它们Wronsky的行列式W（t）+O,a≤t<b“反证法”若有tE[a,b]使得W（t）=0证明：则数值向量组x(to),x(to)..,x,(to)线性相关从而存在不全为零的常数c,c…c，使得cx(to)+cx(t)+...+c,x,(to)=0,(5.17)现在考虑函数向量x(t)=cx(t)+cx(t)+...+cnx(t)由定理2知,x(t)是(5.15)的解A\《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页上市

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 (3)定理4 1 2 ( ), ( ) , ( ) , ( ) 0, . n x t x t x t W t a t b    如果(5.15)的解 线性无关 则它们Wronsky的行列式 证明: 0 0 “反证法” 若有 使得 t a b W t  = [ , ], ( ) 0, 则 1 0 2 0 0 ( ), ( ) , ( ) n 数值向量组 线性相关, x t x t x t 1 2 , , , n 从而存在不全为零的常数 ,使得 c c c 1 1 0 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, (5.17) n n c x t c x t c x t + + + = 现在考虑函数向量 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n x t c x t c x t c x t + + + 由定理2知, x t( ) (5.15) , 是 的解