《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 4.2 常系数线性微分方程的解法 一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性方程和欧拉方程 三、常系数非齐线性方程的解法 四、质点振动
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) (4.1) 1 1 1 a t x f t dt d x a x dt d x n n n n n + + + = − − 1 1 1 ( ) ( ) 0 (4.2) n n n n n d x d x a x a t x dt dt − − + + + = 齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程 问题：讨论（4.1）-（4.2）的通解？ 于是有下面两个重要定理 回忆
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.14) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t x t = + ++ n n + 其中 为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的 所有解。 n c ,c , ,c 1 2 定理7 设 为方程（4.2）的基本解组，而 是方程 （4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n x t( ) 定理6 如果 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方 程（4.2）的通解可表为： （4.11） 其中 是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。 ( ), ( ), , ( ) 1 2 x t x t x t n ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 x c x t c x t c x t = + ++ n n n c，c ，，c 1 2 齐次线性微分方程通解结构定理 非齐次线性微分方程通解结构定理
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经 解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对 于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊 类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以 ，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方 程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐 次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运 算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微 分运算求得它的通解。 以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微 分方程为更深刻地理解物理现象提供有力的工具
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、复值函数与复值解 1 复值函数 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) , 我们称 为区间 上的复值函数 如果 与 是区间 上定义的实函数 z t t i t a t b t t a t b = + . ( ) ( ) , ( ) 上连续 若 与 在区间 上连续 则称 在 a t b t t a t b z t 上可微 且 的导数为 若 与 在 上可微 则称 在 , ( ) ( ) ( ) , ( ) a t b z t t t a t b z t ( ) ( ) ( ) ' ' ' z t = t +i t 复函数的求导法则与实函数求导法则相同