5.3常系数线性微分方程组矩阵指数expA的定义和求法基解矩阵的计算公式三拉普拉斯变换的应用L教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束市二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 5.3 常系数线性微分方程组 一、矩阵指数expA的定义和求法 二 基解矩阵的计算公式 三 拉普拉斯变换的应用
一阶常系数线性微分方程组：dxx= Ax+ f(t),dt这里系数矩阵A为nxn常数矩阵，f(t）在a≤t≤b上连续的向量函数；若f(t)=0,则对应齐线性微分方程组为dx=Ax,(5.33)dt本节主要讨论（5.33）的基解矩阵的求法A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上一真结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ( ), dx Ax f t dt = + A n n f t , ( ) a t b 这里系数矩阵 为 常数矩阵 在 上连续的向量函数; 一阶常系数线性微分方程组: 若 则对应齐线性微分方程组为 f t( ) 0, = , (5.33) dx Ax dt = 本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法
一、矩阵指数expA的定义和求法1expA的定义定义设A为n×n常数矩阵，则定义矩阵指数expA为下列矩阵级数的和A?AkAm802expA=E+A+(5.34)二十2！k!m!k=0其中E为单位矩阵A"为A的m次幂，A°=E.0!=1注1：矩阵级数（5.34）是收敛的AVAAS由于收敛.而数项级数k!k!k!A1《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页上二南结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 , exp A n n A 设 为 常数矩阵 则定义矩阵指数 为下列矩阵级数的和 2 0 exp (5.34) ! 2! ! k m k A A A A E A k m = = = + + + + + 0 , , ,0! 1. m 其中 为单位矩阵 为 的 次幂 E A A m A E = = 注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的. 由于 , ! ! k k A A k k 而数项级数 1 ! k k A k = 收敛
注2：级数H-2AmAk2t2tk1m=E+At+expAt=+-m!在t的任何有限区间上是一致收敛的AckAktk由于≤c,<k!k!ckAlk002而数项级数收敛.k!k-1A教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页上一页结束二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 注2: 级数 在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 , , ! ! k k k k A t A c t c k k 而数项级数 1 ! k k k A c k = 收敛 . 2 2 0 exp ! 2! ! k m k m k A A A At t E At t t k m = = = + + + + +
2矩阵指数的性质BA+BA若AB=BA.则e(1)ee三A'Bk-1k80(A+B)221由于:exp(A + B)=l!(k-!k!k=0 1=0k=08BA'Bk-Ik8元2I2expAexpB-一l!(k-D!1=0k=0介绝对收敛级数的乘法定理(2）对任何矩阵A,(expA)-存在，且(exp A)=exp(-A)由于: exp Aexp(-A)exp(A+(-A)=exp0=EA《常微分方程》教学课件广东第二师范学院上二市结束首页二面
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 2 矩阵指数的性质 (1) , . A B A B AB BA e e e + 若 则 = = 1 (2) ,(exp ) A A 对任何矩阵 存在,且 − 1 (exp ) exp(- ). A A − = 由于: 0 ( ) exp( ) ! k k A B A B k = + + = k 0 = = 0 ; !( )! k l k l l A B l k l − = − 0 0 exp exp ! ! i j i j A B A B i j = = = = 0 0 [ ]; !( )! k l k l k l A B l k l − = = − 绝对收敛级数的乘法定理 由于: exp exp(- ) A A = + exp( (- )) A A = exp0= E