第四章 高阶微分方程 教学目的 本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法，常系数线性方程的解，高阶微 分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法 教学要求 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法，会把高阶微分方程降阶以 及会用幂级数解法解某些二阶线性方程 教学重点 齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想；常系数齐次线性方程的特 征根法和待定系数法；高阶可积类型的解法；幂级数解法 教学难点 函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质；特征根法和待定系数法；幂级数 解法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 在第二章介绍了一阶微分方程的解法,在实际应用中，还常常遇到高阶微分方程，本章 我们将介绍高阶微分方程的求解方法和理论，在微分方程的理论中，线性微分方程的理论占 有非常重要的地位，这不仅是线性微分方程最简单，它的一般理论已被研究得十分清楚，而 且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础。本章重点介绍线性微分方程的基本理论和常 系数方程的解法，对于高阶方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作简单介绍。 § 4.1 线性微分方程的一般理论 教学目的 本章主要讨论线性微分方程的基本理论，常数变易法。 教学要求 掌握线性微分方程的基本理论和常系数线性方程的解法。 教学重点
齐次和非齐次线性微分方程的解性质与结构；常数变易思想。 教学难点 函数的线性相关性；Wronsky 行列式的定义及其性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程，它的理论发展十分完善，本节将介绍 它的基本理论。 一．线性微分方程的有关概念 1．我们将未知函数 x 及其各阶导数 dt dx k ,., n n dt d x 均为一次的 n 阶微分方程称为 n 线性微 方程，它的一般形式为： + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . ( ) ( ) ( ) 1 a t f t dt dx a t + n− + n = （4.1） 其中 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 都是区间 a t b 上的连续函数,如果 f (t) 0 ,则方程 (4.1)变为 + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . + −1 ( ) + a (t) = 0 dt dx a t n n (4.2) 我们称(4.2)为 n 阶齐线性方程,简称齐线性方程,而称(4.1)为非齐线性微分方程,简称非齐线 性方程,且通常把(4.2)叫对应于(4.1)的齐线性方程. 如下面 4 个方程是线性微分方程 + = + + = + + = + + − = x t dt d x a x f x a a dt dx a t dt d x t x dt dx dt d x t n x n dt dx t dt d x t 4 sin ( ),( , ) 2 3 0 ( ) 0,( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 为常数 为常数 前两个是齐次的,后两个是非齐次的. 同一阶方程一样,高阶方程也有着是否有解和解是否惟一的问题,因此作为讨论的基础,下面 我们将给出方程(4.1)的解的存在惟一性定理,其证明将在下一章讲述线性方程组有关定理时 给出. 定理 1.如果 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 都是区间 a t b 上的连续函数,则对于任一
( 1) 0 (1) 0 0 [ , ] , , , − n t a b 及任意的x x x , 方 程 (4.1) 存在惟一解 x =(t),定义在 区 间 a t b 上, 且满足初始条件: ( 1) 1 0 0 1 (1) 0 0 0 0 ( ) , , ( ) ( ) , − − − = = = n n n x dt d t x dt d t t x 从这个定理可看出 , 初 始 条件 唯 一 确定 了 方 程(4.1) 的 解 , 而且 这 个 解在所有 a (t)(i = 1,2, i . n) 及 f (t) 连续的区间 a t b 上有定义. 二.齐次线性方程解的性质和结构. 首先我们讲述齐次线性方程 + + − − 1 1 1 ( ) n n n n dt d x a t dt d x . + −1 ( ) + a (t) = 0 dt dx a t n n (4.2) 的一般理论.假设(4.2)系数 a (t)(i = 1,2, i . n) 在 a t b 上连续. 1.定理 2(叠加原理)如果 ( ), ( ), , ( ) 1 x t x t x t i k 是方程(4.2)的 k 个解,则它们的线性组合 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 c x t c x t c x t + ++ n n 也是方程(4.2)的解,这是 c1 ,c2 ,,cn是任常数 Proof: 因为 xi (t)是(4.2)的解,故有 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + 1 ++ = − − − a t x t dt d x t a t dt d x t n n i i n n i n i = 1,2,, k 上面 k 个等式第 i 个后相加,依据微分的性质有 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + 1 ++ = − − − a t x dt d x t a t dt d x t n n n n n ( ) ( ) ( ) 1 1 x t c x t c x t = ++ k k 故 ( ) ( ) 1 1 c x t c x t ++ k k 为(4.2)的解. 例 1.验证 sin t,cost,(t) = c1 sin t + c2 cost是方程x + x = 0的解 解:分别将 sin t,cost,(t)代入方程x + x = 0 .我们有 sin ,cos , ( ) . ( ) ( ) [(sin ) sin ] [(cos ) cos ] 0 (cos ) cos 0 (sin ) sin 0 1 2 所以 t t t 都是该方程的解 t t c t t c t t t t t t + = + + + = + = + = 在定理 2 中,若
= = 1 1 2 , (4.2) ( ), ( ) ( ), 2 ( ) (4.2) , c k n 即n阶方程 有关n个解x t x t xn t 则由定理 知 ci xi t 也是 的解 它含有n个 任意常数,反过来,如果方程(4.2)的任意一个解 (t) 都可表为 = = 1 ( ) ( ) i i i t c x t (4.4) 即(4.4)上方程(4.2)的通解.自然,我们关心的是 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在什么情况下能够使(4.4) 为方程的通解.为回答这个问题,我们首先介绍函数组在已知区间上线性相关和线性无关及 Wronskian 行列式的概念. 2.函数线性相关性 定 义 , 定义在区间 [a,b] 上的函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k , 如果 存 在 不全 为 零的常数 k c ,c , ,c 1 2 使得 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ ck xk (t) 0 在 [a,b] 上恒成立,我们称这些函数线性相关的,否则称这些函数线性无关. 如: cost,sin t 任何区间线性无关,但 sin ,cos 1 2 2 t t − 在任何区间线性相关 又如函数 n 1,t,t , ,t 2 在任何区间上都是线性无关的,因为恒等式 0 2 0 + 1 + 2 ++ n n c c t c t c t (4.5) 只有当所有的 = 0( = 0,1,, ) . 0, i i c i n 时才成立如果至少一个c 则(4.5)工的左端是一个 不高于 n 次的多项式,它至多有 n 个不同的根,因此,它在所考虑的区间上不能有多于 n 个零 点,更不可能恒为零. 注 1,在函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 中,如果有一个函数,如 x (t) k 在 [a,b] 上恒等 于零, 则 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 在 [a,b] 上线性相关. 注,函数组的线性无关性依赖于所取的区间,如 x (t) = t , x (t) = t 1 和 2 在区间 (−,+) 上是 线性无关,但在 (−,0) 相关的. 下面我们来建立线性相关和线性无关的判别法则,为此先引进 3.Wronskian 行列式 定义.由定义在 [a,b] 上 k 个可微 k-1 次的函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t k 所作成的行列式
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ) ( )] ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 2 1 2 x t x t x t x t x t x t x t x t x t W x t x t x t k k k k k k k − − − 称为这些函数的 Wronskian 行列式,也写作 W(t). 4.定理 3. 若函数 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 在区间 a t b 上线性相关,则在 [a,b] 上 它们的 Wronskian 行列式 W (t) 0 Proof: 由假设可知存在一组不全为零的常数 n c ,c , ,c 1 2 使得 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ++ cn xn (t) 0 , t [a,b] 依次将此恒等式对 t 微分,得到 n 个恒等式 + ++ + ++ + ++ − − − ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t n n n n n n n n n 上述方程组是关于 n c ,c , ,c 1 2 的齐次方程组,它的系数行列式就是 Wronskian 行列式 W (t) , 由线性代数理论知,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,即 W (t) = 0 注 1 定理 3 的逆不成立 如函数 = 0, 0 0 ( ) 2 1 t t t x t = 0 0 0 ( ) 2 2 t t t x t 显然,对所有的 t ,恒有 W[x1 (t), x2 (t)] = 0,但x1 (t), x2 (t)在 (−,+) 上却都是线性无关的. 事实上,假设存在恒等式 c1 x1 (t) + c2 x2 (t) 0 则当 t 0时,推得c2 0,而当t 0时,又推得c1 = 0,故 ( ), ( ) 1 2 x t x t 在 (−,+) 上是线性 无关的. 推论.如果函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 的 Wronskian 行列式在区间 [a,b] 上某点 0 t 处不等于零, 即 W(t 0 ) 0,则该函数组在该区间上线性无关。 应该指出，如果函数组 ( ), ( ) ( ) 1 2 x t x t x t n 是齐次方程的 n 个解，此时，它的 Wronskian 行列式等于零将成为该组在 [a,b] 上线性相关的充要条件。这可由下面定理推出