§2.4 一阶隐方程与参数表示 教学目的 掌握四类隐方程 F(x, y, y ) = 0 的类型及其求解方法 教学要求 掌握四类隐式方程的解法 教学重点 四类隐方程通解的求法 教学难点 求解四类隐式方程的变量替换法。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 前面几节都用的是 ' y 已经解出的显式方程 ( , ) ' y = f x y 的求解方法,本节我 们讨论 ' y 未能解出(或解出的表达式相当特殊)的一阶隐式方程 ( , , ) 0 ' F x y y = (1) 的解法.本节讨论的主要思想是:采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方 程类型,然后用 2.1− 2.5 介绍的方法求解,这里主要介绍以下四种类型: (1) ( , ) ' y = f x y , (2) ( , ) ' x = f y y (3) ( , ) 0 ' F x y = , (4) ( , ) 0 ' F y y = 一 可解出 y(或 x)的方程 1.型如 ( , ) dx dy y = f x (2) 的方程的解法,这里假设 ( , ) ' f x y 有连续的偏导数,若能从方程(1 )中解 出 y,得到 ( , ) dx dy y = f x 引进参数 ' p = y ,则方程(2)变为 y = f (x, p) (3)
将(3)两边对 x 求导,并与 p dx dy = 代入,得到 dx dp p f x f p + = (4) 这是关于变量 x,p 时一阶显式方程. 若求得(4)的通解为 p = (x, c) 将它代入(3),得到原方程(2)的通解. y = f (x,(x,c)) , (c 为任常数) 若求得(4)的通解形式为 x = ( p, c) 则得到(2)的参数形式的通解 x = ( p, c) y = f ( ( p,c), p) 其中 p 是参数,c 是任意常数 若求得(4)的通解形式为 (x, p,c) = 0 则得到(2)的参数形式的通解 (x, p,c) = 0 y = f (x, p) 这里 p 是参数,c 为任常数 例 1:求解方程 2 ( ) 2 2 x dx dy x dx dy y = − + 解:令 p dx dy = ,则原方程可写为 2 2 2 x y = p − xp+ (6) 两边对 x 求导,得到 p x dx dp x dx dp p = 2 p − − + 整理化简后,得方程
( −1)(2 p − x) = 0 dx dp (7) 故 −1 = 0 dx dp 解得(7)的通解 p = x + c 将它代入(6)中得到原方程的通解 2 2 2 c c x y = + x + ,以为任常数(8) 又从 2 p − x = 0 得(7)的一个解 2 x p = 把它代(6)得到方程的一个解 4 2 x y = 例 2.求出第一像限中的一条曲线,使某点上每一点的切线与两坐标轴所围 成的三 面积均等于 2. 解: 设所求曲线为 y = y(x) 如图,过所求曲线任一点(x,y)的切线方程 为 r − y = y'(X − x) 其中(X,r)为切线上的切点,因此切线在坐标轴的 截距 a,b 分别 为 . ' ' b y xy y y a = x − 及 = −
因所求曲线在第一像限,由题意得 )( ') 2 ' ( 2 1 − y − xy = y y x 即 ( ') 4 ' 2 y − xy = − y ( y' 0) 解出 y 得 y = xy'2 − g' 令 y' = p 得 y = xp 3 − p 两边同时对 x 求导得 0 2 1 = + = dx dp dx gp dp p p x 即 ) 0 1 ( = − dx dp p x 当 = 0 dx dp 时,有 p=c,故得其通解为. y = cx 2 − c 它是直线族. 当 0 1 = − p x 时,我得另一特解 p p p p y x p p p x − − − = − − = − = = − )( ) 2 1 2 ( 0 1 2 消去参数 p 得双曲线:xy=1 虽然,这才是我们所要求的一条曲线. 2)形为 ( , ) dx dy x = f y 的方程的解法,这里假定 ( , ) dx dy x = f y 有连续偏导数,其 求解分法与(2)完全类似,若能从中解出 x,得到 ( , ) dx dy x = f y .引进参数 dx dy p = 则(g)复为 x = f ( y, p) 两边对 y 求导,然后以 dy p dx 1 = 代入,得 ,(10) 1 dy dp p f f f p + = 当方程(10)关于 y,p 的一阶微分方方程.但它的导数 dy dp 能解出,于是按
以前的办法求解,能求得(10)的通解为 ( y, p,c) = 0 则()的通解为 ( , ) ( , , ) 0 x f y p y p c = = - 这里的 p 为参数,C 为任意常数. 例 3.求解方程 ( ) 2 0 3 + − y = dx dy x dx dy 解,解出 x.并以 dx dy p = 代入得 p y p x 2 3 − = ( p o) 对 y 求导数,得到 2 2 2 2 (1 2 ) ( ) 1 p dy dp y p dy dp p p p − − − = 即 2 0 3 pdy + ydp + p dp = 积分之,即有 yp + p = c 4 2 因而 p c p y 2 4 − = 所以,方程通解为 2 2 4 3 4 p p c x = − 2 2 3 p p c y = − ( p 0) 此外,还得解 y=0. 二, 不显含 y(或 x)的方程 从几何观点看,方程 ( , , ) 0 ' F x y y = 的解是 x·Y 平面的曲线,一条曲线可以用 直角坐标表示,也可以用参数坐标表示,微分方程的解也可以用参数坐标表示出 来