3.2解的延拓教学课件《常微分方程》广东第二师范学院首页F结束南
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 3.2 解的延拓
内容提要局部利普希兹条件>解的延拓的引入延拓方法解的延拓定理推论>解的延拓定理及其推论例子本节要求>理解解的延拓方法。>会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。A《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 ➢ 解的延拓的引入 延拓方法 局部利普希兹条件 ➢ 解的延拓定理及其推论 例子 推论 解的延拓定理 内容提要 本节要求 ➢ 理解解的延拓方法。 ➢ 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。 2
() R(,))引例求初值问题d=1+y2, y(0)=0(2)R=((x,y)/x≤1y≤1)dx(3)R=((x,y)/x<1,y≤2)解的存在区间解对任意a,b,函数f(x,y)均在矩形区域R=((x,y)/x<≤a,y<b)内连续，且对有连续的偏导数，计算bM-Masl(x,/-1+b;h=min(a1b(x,y)eRb最大由于a和b都可任意取，我们选取b，使1+62bb为的最大值显然b=1时1+621+b?2二《常微分方程》教学课件广东第二师范学院首页一南结束
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 引例 求初值问题 2 1 , (0) 0 dy y y dx = + = 解的存在区间. 解 对任意a,b, 函数f (x, y)均在矩形区域 R ={(x, y)| x a, y b} 内连续,且对y有连续的偏导数,计算 ( , ) ( , ) M Max f x y x y R = 1 ; 2 = + b } 1 min{ , 2 b b h a + = 由于a和b都可任意取, 我们选取 使 2 最大 1 , b b b + . 2 1 1 1 1 , 显然 时 2 为 2 的最大值 b b b b b + = + = 1 1 {( , ) | 1, } 2 {( , ) | 1, 1} {( , ) | 1, 2} R x y x y R x y x y R x y x y = = = （） （2） （3）
问题提出dy=f(x, ), R:|x- xo/ ≤a,y-yol ≤b,dx对于初值问题y(xo)=yo上节解存在唯一性定理告诉我们在一定条件下它的解在区间x-xl≤h上存在唯，这里h=min(a,),M=Maxf(x,y)(x,y)eRM根据经验，如果f(x，y)的定义域R越大，解的存在唯区间也应越大但根据定理的结论，可能出现这种情况即随着f(x,）的定义域的增大，解的存在唯一区间反而缩小，这显然是我们不想看到的A7《常微分方程》教学课件广东第二师范学院结束首页市
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 问题提出 对于初值问题 , ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy : , , R x − x0 a y − y0 b 上节解存在唯一性定理告诉我们,在一定条件下, , 它的解在区间x − x0 h上存在唯一 min( , ), ( , ) ( , ) M Max f x y M b h a x y R 这里 = = , , ( , ) , 区间也应越大 根据经验 如果f x y 的定义域R越大 解的存在唯一 , . ( , ) , , , 缩小 这显然是我们不想看到的 即随着 的定义域的增大 解的存在唯一区间反而 但根据定理的结论 可能出现这种情况 f x y
dy=x?+y?dx例如初值问题y(0)=0当取定义域为R：-1≤x≤1-1≤y≤1时解的存在唯区间x≤h=min1?12当取定义域为R：-2≤x≤2-2≤y≤2时解的存在唯一区间x≤h=min 248正因为如此，上节中所介绍的存在唯一性定理也叫做解的局部存在唯一性定理，这种局部性使我们门感到非常不满意，而且实践上也要求解的存在区间能尽量扩大．这样就需要讨论解延拓的问题．为此先给出下列定义.教学课件广东第二师范学院《常微分方程》上一克面结束首页
《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 , (0) 0 2 2 = = + y x y dx dy 例如 初值问题 当取定义域为R:−1 x 1,−1 y 1时, . 2 1 } 2 1 解的存在唯一区间x h = min{1, = 当取定义域为R:−2 x 2,−2 y 2时, . 4 1 } 8 2 解的存在唯一区间x h = min{ 2, =