(p66)定理1若8~P{=X}=pk,k=1,2,…,则n =f(5)的期望E[f(ξ)为 E()=E(5)=∑f(x)(36) 推论:若(,n)P{=x1,n=;}=p1j ,j=1,2,…,则η=f(ξ,n)的期望 E(m)=Ef(,m)=∑∑(x2y,)n
(p66) 定理1 若 ξ~P{ξ=xk}=pk , k=1,2,…, 则η =f(ξ)的期望E[f(ξ)]为 推论: 若 (ξ,η) ~ P{ξ=xi ,η=yj, }= pij, i, j=1, 2, … , 则η= f(ξ,η)的期望 1 ( ) [f ( )] f ( ) . k k k E E x p 1 1 ( ) [f ( , )] f ( , ) . i j ij j i E E x y p （3.6）
(p66)定理2若ξφ(x),-∞<K∞,则n f(ξ)的期望 E(m)=E[f()]=f(x)0(x)b (3.7) 推论若(ξ,n)~中(x,y) 0<X<∞,=00<V<o 则ξ=f(ξ,n的期望 E(2)=E[f(,m)] (x, y)o(x, y)dxdy
(p66) 定理2 若ξ~φ(x), -<x<, 则η =f(ξ)的期望 推论 若(ξ,η) ~φ (x, y), -<x<, -<y<, 则ζ=f(ξ,η)的期望 E E x x dx ( ) [f ( )] f ( ) ( ) . ( ) [f ( , )] f ( , ) ( , ) . E E x y x y dxdy （3.7）
5.B(+n)=B(8)+B(n); 证明:设(,η)~φ E(5+n=| (x+y). p(, y)dxd ∫∫x:(xy)hh+∫y0xy) ∫x」(x,y)hl+yt0xy)h xo(ydx +Jy.o(dy =E(S)+E(n
5. E(ξ+η)=E(ξ)+E(η); 证明:设(ξ,η)~φ (x,y) E x y x y dxdy ( ) ( ) ( , ) x x y dxdy ( , ) y x y dxdy ( , ) x x y dy dx [ ( , ) ] y x y dx dy [ ( , ) ] x x dx ( ) y y dy ( ) E E ( ) ( )
这个性质可以推广到任意有限个随机变量 的情况,即对于n>2也同样有 E(5+2+…+n)=E(1)+E(2)+…+E(5n) E(∑5)∑E(5)(3 特别地,n个随机变量的算术平均数仍是一个随 机变量,其期望值等于这个随机变量的算术平均 数 15)⊥SE(5) E( (3.4)
这个性质可以推广到任意有限个随机变量 的情况,即对于n>2也同样有 特别地, n个随机变量的算术平均数仍是一个随 机变量,其期望值等于这个随机变量的算术平均 数, n n i i i=1 i=1 E( )= E( ) (3.3) E( )=E( ) E( ) E( ) 1 2 n 1 2 n n n i i i=1 i=1 1 1 E( )= E( ) (3.4) n n 即：
6.若与n独立,则B(2n)=B()(m)(3.5) 证明:设(ξ,n)~φ(x, 27) f(x2y)-·0(x,y)dxay 00-00 xy·y(x,y)lxa ∫∫x:(x)n()doh ∫xo(x)x∫(y)=E(5)E(m)
6. 若ξ与η独立，则 证明:设(ξ,η)~φ(x, y) xy x y dxdy ( ) ( ) x x dx y y dy ( ) ( ) E E ( ) ( ) E( )=E( )E( ) (3.5) xy x y dxdy ( , ) E f x y x y dxdy ( ) ( , ) ( , )