电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三章 分离变量法（3.1）高维定解问题分离变量求解

(9)与(10)可以统一写为: Rn(p)=C,"…(n=0,1,2,…) 求定解 一般解为: u(oo ao+plan, cosne+ bn sin nB 2 n=1 由边界条件(2)得: fle ao+2Po(an cos ne+6n sin ne 2

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 4、求定解 ( ) ( 0,1,2, ) n R C n n n   = = (9)与(10)可以统一写为： 一般解为：  ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( , ) n n n n a n b n a u      由边界条件(2)得： ( ) 0 0 1 ( ) cos sin 2 n n n n a f a n b n      = = + + 

由傅立叶级数展开公式有: ao=xJ。(O)O .2x f(O)cos nede 尸0x10 2丌 f(esin nede Po AL 代入整理后得定解形式为: Ir.2T T Jo f()+∑ COS n=1

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12  ( )         = = =                    .2 .0 0 .2 .0 0 .2 .0 0 sin 1 ( ) cos 1 ( ) 1 b f n d a f n d a f d n n n n u( ) f t ( t) dt n n           −         = +  =        .2 .0 1 0 cos 2 1 ( ) 1 , 由傅立叶级数展开公式有： 代入整理后得定解形式为：

例1求定解问题: au 1 au 0,(O<P。) dp pap p80 acos 0 P-Po 解:这是圆域上拉普拉斯方程狄氏问题 分离变量得一般解为: u(p,0)=o+2p"(an, cos n0+b, sin ne n=1

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 例1 求定解问题 ： 0 2 2 2 2 2 0 1 1 0,( ) cos u u u u A          =      + + =      =  解：这是圆域上拉普拉斯方程狄氏问题  ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( , ) n n n n a n b n a u      分离变量得一般解为：

由边界条件得 Acos 6==+ >Po(an cosne+bn sin no) n=1 由傅立叶展开公式得: =0(n≠1) 所以定解为: A u(p, 0)=cos 0

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 由边界条件得： , 0( 1) 0, 0 1 = =  = a n A a b n n  ( ) 0 0 1 cos cos sin 2 n n n n a A a n b n      = = + +  由傅立叶展开公式得： 所以定解为： 0 ( , ) cos A u      =

注:圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解 问题分离变量求解,要在极坐标下进行。求解时要注 意自然条件的使用 例2在扇形域{0<0<a,0<ρ<p0}上求定解问题: 1 a au =0,(0<p<P0,0<6<a)…(1) pap dp p ae l(,)=f(⊙)…(2) (0)<+0…(3) =0 la=0…(4)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 15 注：圆域、扇形域等圆弧形边界围城的区域上的定解 问题分离变量求解，要在极坐标下进行。求解时要注 意自然条件的使用。 例2 在扇形域{0<θ<α,0<ρ<ρ0}上求定解问题： 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) 0,(0 ,0 ) (1) ( , ) ( ) (2) (0, ) (3) 0 (4) u u u f u u u                  = =     + =           =    +   = = 