电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三章 分离变量法（3.1）高维定解问题分离变量求解

1、分离变量 l(p,6)=R()()…(5) (5代入(1)得: R"Φ+RΦ+R”=0 整理后可令比值为λ: PR+pR R

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 u R ( , ) ( ) ( ) (5)     =  1、分离变量： 0 1 1 2 R + R + R =   2 R R R       +  = − =  (5)代入(1)得： 整理后可令比值为λ：

得两个常微分方程如下: Φ"+Ad=0…(6 p2R+pR-AR=0…(7) 如何构造固有值问题? 、求解固有值问题 ①"+A=0 Φ(+2z)=Φ(

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 2 0 (6) R R R 0 (7)      +  =    + − = 得两个常微分方程如下： 如何构造固有值问题？ 2、求解固有值问题  ( ) ( )    + =   +  =     2 0

(1)λ<0时,只有平凡解; (2)λ=0时,①(O)=常数 (3)入>0时,令λ=B2得: pO)=ap cos B0+bB sin B0 结合周期条件,β只能取正整数。于是得固有值: 2=n2(n=1.2 固有函数为: (O)=a1cosn+ b sin ne…(n=12…)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 (1) λ<0时，只有平凡解； (2) λ=0时， 0  = ( )  常数 (3) λ>0时，令λ=β2 得：  ( ) = a  cos   + b  sin   结合周期条件，β只能取正整数。于是得固有值： 2  = = n n （ 1,2, ) 固有函数为： ( ) cos sin ( 1,2 )  = + = n n n    a n b n n  

3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程,结合有限条件有: p2R"+pR-R=0…(7) (R(O)<+2(8) 1)、对应于=0,(7)的解为 Ro=C+DIn p 由(8)得:D=0,于是有: Ro(p)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 3、求方程(7)的解 方程(7)是二阶欧拉方程，结合有限条件有： 2 0 (7) (0) (8) R R R R       + − =    + (1)、对应于λ0= 0，(7)的解为： 0 R C D ( ) ln   = + 由(8)得：D=0,于是有： 0 R C ( ) (9)  =

(2)、对应于λn=n2(n=1,2…) 作变换:p=e,(7)变为: D(D-DR+DR-n'R=o d R 即: R (7)的解为:R()=Cn,p"+DP 由68)得:Dn=0,于是有 R,2()=C

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 (2)、对应于λn= n2(n=1,2….) 2 D D R DR n R ( 1) 0 − + − = 作变换：ρ=e t ,(7)变为： 2 2 n R dt = 2 d R 即： (7)的解为： ( ) n n R C D n n n    − = + 由(8)得：Dn=0,于是有： ( ) n R C n n   =