山东理工大学理学院备课纸 年月日 §4多项式的最大公因式 一、多项式的最大公因式 1.定义 当g(x)1fx)时，g(x)就称为fx)的因式，fx)称为g(x)的倍式 注意：(1)对于零次多项式c,它是任意多项式fx)的因式 (2)零只能是零多项式的因式， 如果多项式(x)既是f)的因式，又是g(x)的因式，那么(x)就称为fx)与g(x) 的一个公因式 2.思考：两个多项式是否一定有公因式？ (有，零次多项式) 3.最大公因式定义 设fx)与g(x)是P[x]中两个多项式.Px]中多项式dx)称为fx),g(x)的一个 最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1)dx)是fx)与g(x)的公因式： 2)fx),gx)的公因式全是d(x)的因式 4.注：(1)对于任意多项式fx),fx)就是fx)与0的一个最大公因式： (2)根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0. 5.引理如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立，那么fx),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式. 第11页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 §4 多项式的最大公因式 一 、多项式的最大公因式 1．定义 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 注意：(1) 对于零次多项式 c , 它是任意多项式 f (x) 的因式 (2) 零只能是零多项式的因式, 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 2．思考：两个多项式是否一定有公因式？ （有，零次多项式） 3．最大公因式定义 设 f (x) 与 g(x) 是 P x[ ] 中两个多项式. P x[ ] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ，g(x) 的一个 最大公因式,如果它满足下面两个条件： 1) d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2) f (x)， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 4．注：(1) 对于任意多项式 f (x)， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式； (2) 根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 5．引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x)， g(x) 和 g(x)，r(x) 有相同的公因式. 第 11 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 6.如何求两个多项式的最大公因式 定理2对于P国的任意两个多项式f,gx),在P国中存在一个最大公因式 d(x),且d(x)可以表成fx),g(x)的一个组合，即有P[x中多项式(x,x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). (2) 证明：fx)=q(x)g(x)+r(x) g(x)=4(x)r(x)+5(x) (x)=4(x5(x)+5(x) 0000000000000000000 53(x)=9-(xr-2(x)+r-1(x) -2(x)=q.(x)r-(x)+r(x) r-(x)=q1(xr(x)+0 7.注： (1)两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确 定的.由最大公因式的定义不难看出，如果d,(x),d,(x)是f(x),g(x)的两个最大 公因式，那么一定有d()1d,)与d,(1d,也就是说d()=cd,(x,c≠0. (2)两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形， 我们约定，用((x),g(x)来表示首项系数是1的那个最大公因式 (3)定理2的逆不成立.例如令 f(x)=x,g(x)=x+1, x(x+2)+(x+10x-=2x2+2x-1. 第12页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 6．如何求两个多项式的最大公因式 定理 2 对于 P x[ ] 的任意两个多项式 f (x) , g(x) ，在 P x[ ] 中存在一个最大公因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x)， g(x) 的一个组合，即有 P x[ ] 中多项式 u x v x ( ), ( ) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . (2) 证明： 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + . 3 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s r x q x r x r x − − − − = + 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s r x q x r x r x − − = + 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 s s s r x q x r x − + = + 7. 注： （1）两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确 定的.由最大公因式的定义不难看出，如果 1 2 d x d x ( ), ( ) 是 f (x) , g(x) 的两个最大 公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ，也就是说 d1 (x) = cd2 (x),c 0 . （2）两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形， 我们约定，用 ( ( ), ( )) f x g x 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式. （3）定理 2 的逆不成立. 例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 第 12 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式 但是当(2)式成立，而d(x)是fx)与g(x)的一个公因式，则dx)一定是fx)与g(x) 的一个最大公因式 (4)定理中(x),x)不唯一，可有无穷多个。 因若dx)=4(f)+(g(),对h)eP,有 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)+hx)f(x)g(x)-h(x)f(x)g(x) =[u(x)+h(x)g(x)lf(x)+[v,(x)-h(x)f(x)lg(x) =(x)f(x)+(x)g(x) 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm) 例设 fx)=x+3x3-x2-4x-3 g(x)=3x3+10x2+2x-3 求(x),gx),并求(x,(x)使d(x)=x)fx)+x)g(x). 例：决定k,使x2+(k+6x+4k+2与x2+(k+2x+2k的最大公因式是一次的 二、多项式互素 1.定义7Px]中两个多项式fx),g(x)称为互素（也称为互质)的， 如果((x),g(x》=1 显然，两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其它的公因式，反 之亦然. 第13页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. （4）定理中 u x v x ( ), ( ) 不唯一，可有无穷多个。 因若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 d x = u x f x + v x g x ，对 h(x) P[x] ，有 [u ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x h x g x f x v x h x f x g x d x u x f x v x g x h x f x g x h x f x g x = + + − = + + − = u(x) f (x) + v(x)g(x) 定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求 ( ( ), ( )) f x g x ，并求 u x v x ( ), ( ) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 例：决定 k ，使 ( 6) 4 2 2 x + k + x + k + 与 x (k 2)x 2k 2 + + + 的最大公因式是一次的 二、多项式互素 1. 定义 7 P x[ ] 中两个多项式 f (x)，g(x) 称为互素（也称为互质）的， 如果 ( f (x), g(x)) = 1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其它的公因式，反 之亦然. 第 13 页
山东理工大学理学院备课纸 年月日 2.如何应用辗转相除法证明f),g)互素 f(x)=q(x)g(x)+r(x) g(x)=92(x)r(x)+5(x) (x)=(x)5(x)+5(x) . 5-(x)=9-(x)r-2(x)+r-(x) y-3(x)=q.(x)r-(x)+c,c≠0 5()=gn6r.()+0这里56)=c,9n()=2(6) 例：fx)=x+2x2+2x2+3x+3,g(x)=x2+2x+1 3.定理3P中两个多项式fx),g(x)互素的充要条件是有Px]中多项 式x,(x)使Mx)fx)+x)g(x)=1. 4.定理4如果fxg(x》=1,且fx)川g(x)hx),那么fx)川hx). 证明： 推论1如果f(x)川g(x),5x)川g(x),且(f(x,f2(x》=1,那么 f(xf5(x)川g(x). 证明： 推论2如果(f(x,g(x》=1,(2(xg(x》=1,那么(f(w)fx,g(x》=1 证明： 第14页
山东理工大学理学院备课纸 年 月 日 2. 如何应用辗转相除法证明 f (x)， g(x) 互素 1 1 f x q x g x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 2 1 2 g x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 3 2 3 r x q x r x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + . 3 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s r x q x r x r x − − − − = + 2 1 ( ) ( ) ( ) s s s r x q x r x c − − = + ， c 0 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 s s s r x q x r x − + = + 这里 ( ) s r x c = , 1 1 1 ( ) ( ) s s q x r x c + − = 例： 432 f x x x x x ( ) 2 2 3 3 = + + + + ， 2 g x x x ( ) 2 1 = + + 3. 定理 3 P x[ ] 中两个多项式 f (x) , g(x) 互素的充要条件是有 P x[ ] 中多项 式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1. 4. 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) = 1 ，且 f (x) | g(x)h(x),那么 f (x) | h(x) . 证明： 推论 1 如果 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1,那么 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 证明： 推论 2 如果 ( f 1 (x), g(x)) =1, ( f 2 (x), g(x)) =1,那么 ( f 1 (x) f 2 (x), g(x)) =1 证明： 第 14 页