52微分方程的定性分析 随着科学技术的发展,常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具, 也是数学建模的必备基础理论 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下,能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解 解决方法 求微分方程的数值解 对微分方程进行定性分析
5.2 微分方程的定性分析 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一 . 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 法 对微分方程进行定性分析
微分方程定性分析 般提法:不去积分给定的微分方程,而根据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态 基本任务:考虑在有限区域内积分曲线的形状, 或研究当时间无限增大时积分曲线的性态 研究对象:驻定系统 若微分方程组 dti(r 19~2,…5n 其右端的函数不显含自变量t,称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统)
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 微分方程定性分析 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 f x x x i n dt dx i n i ( , , , ), 1,2, , = 1 2 = 其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统). 若微分方程组
例5.2.1单一质点非受迫直线运动满足下方程 2 +a1(x)+a2(x)=0 dt dt dx 令 v,得一个二维驻定系统 dt at d =-a1(x)u-a2(x)
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程 1 ( ) 2 ( ) 0 2 2 + + a x = dt dx a x dt d x v, dt dx 令 = 得一个二维驻定系统 = − − = ( ) ( ). , a1 x v a2 x dt dv v dt dx
一般二维驻定系统形式为 dx =P(x, y). (2) (x,y) t 若其解 」x=x(,0,x0,y0) ly=y(, to, *o, yo) 存在且唯一,则在三维空间(x,y,D中有且仅有 条解曲线通过点( Xo you t 基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析
一般二维驻定系统形式为 (2) ( , ). ( , ), = = Q x y dt dy P x y dt dx 存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0 , y0 , t0 ). 若其解 （3） ( , , , ) ( , , , ) 0 0 0 0 0 0 = = y y t t x y x x t t x y 基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析
(x,y,t) 解曲线 投影曲线 定义:称平面(x,y)为相平面,称解曲线 在相平面上的投影为相轨线,相轨线族称为 相位图
x y t o t0 (x,y,t) 解曲线 投影曲线 定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图