陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 若尔当标准形（λ-矩阵）

证：经行列调动之后，可使A(2）的左上角元素au()0，若au()不能除尽 A()的全部元素,由引理，可以找到与 A(2)等价的 B,(a)，且B(a)左上角元素 b(a)0,a(b(a)<a(au(a)若 b,(a)还不能除尽B,(a)的全部元素，由引理，又可以找到与 B,(a)等价的B,()，且B(a)左上角元素 b,(a)±0，a(b,(a)<a(b(a))如此下去，将得到一系列彼此等价的入一矩阵：

证: 经行列调动之后，可使 A( )  的左上角元素 11 a ( ) 0   , 若 a11( )  不能除尽 A( )  的全部元素， 由引理，可以找到与 A( )  等价的 B1 ( )  ，且 由引理，又可以找到与 B 1 ( )  等价的 B 2 ( )  ，且 如此下去，将得到一系列彼此等价的λ－ 矩阵： B1 ( )  左上角元素 b1 ( ) 0   ，    b a 1 11 ( ) ( ) .      若 b1 ( )  还不能除尽 B1 ( )  的全部元素， 左上角元素 ，    b b 2 1 ( ) ( ) .      2 B ( )  2 b ( ) 0  

A(2), B,(a), B,(a),....它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低但次数是非负整数，不可能无止境地降低因此在有限步以后，将终止于一个入一矩阵B（2它的左上角元素 b.(a)≠0 ，而且可以除尽 B,(a)的全部元素 b,(α)，即b,(a)= b,(a)qi;(j), i =1,2,..,s; j= 1,2,..,n.对 B.(2）作初等变换：

但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个λ －矩阵 ( ) Bs  它的左上角元素 ( ) 0 ，而且可以除尽 s b   ( ) Bs  的全部元素 bij( ),  即 ( ) ( ) ( ), 1,2, , ; 1,2, , . ij s ij b b q j i s j n      对 ( ) 作初等变换: Bs  1 2 A B B ( ), ( ), ( ), .    它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低

00b,(2)0[2-1(q21)],[3-1(q31)], B(a)A,(2)[2-1(q21)],[3-1(q13)],.0A(2)中的全部元素都是可以被b.(a）除尽的因为它们都是B.(2)中元素的组合如果A(a)≠0 ，则对于A(2)可以重复上述过程进而把矩阵化成

21 31 21 13 [2 1( )],[3 1( )], [2 1( )],[3 1( )], 1 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 s q q q q b B A                  A1 ( )  中的全部元素都是可以被 bs ( )  除尽的， 因为它们都是 B s ( )  中元素的组合. 如果 ，则对于 可以重复上述过程， 1 A ( ) 0   1 A ( )  进而把矩阵化成

00d(a)0d,(a)00·..A(2)00其中d,(2)与d,(a) 都是首1多项式( d,(2)与 b,(2)只差一个常数倍数），而且d,(a)d,(a) /d,(2),能除尽A(2)的全部元素如此下去，A(2)最后就化成了标准形

1 2 2 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 , ( ) 0 0 d d A                其中 d1 ( )  与 d2 ( )  都是首1多项式( d1 ( )  与 ( ) s b  只差一个常数倍数），而且 1 2 d d ( ) | ( ),   2 d ( )  能除尽 A2 ( )  的全部元素. 如此下去， A( )  最后就化成了标准形

例1用初等变换化入一矩阵为标准形[1-a元2元-122-2A(2) =[1+2 3+-1 -?解：1.1-222-12202A(2)[3+1]1+23+-11

例1 用初等变换化λ―矩阵为标准形. 2 2 3 2 1 2 1 ( ) 1 1 A                            2 [3 1] 2 3 1 2 1 1 ( ) 0 1 1 1 A                       解：