陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 若尔当标准形（λ-矩阵）

证：根据 A()中不能被aii()除尽的元素所在的位置，分三种情形来讨论：i) 若在 A(a)的第一列中有一个元素 ai(a）不能被au() 除尽，则有 ai(a)=a(a)q()+r(),其中余式 r(a)0，且 a(r(x)<a(an(a)对A(2)作下列初等行变换：a(a)a(a)A(a) =1()r(a)ai(M)

证：根据 A( )  中不能被 a11( )  除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在 A( )  的第一列中有一个元素 ai1 ( )  不能被 11 a ( )  除尽， 其中余式 r( ) 0   ，且    r x a ( ) ( )   11   对 A( )  作下列初等行变换: 11 11 1 ( ) ( ) ( ) [ 1( )] ( ) ( ) i a a A i q a r                            1 11 ( ) ( ) ( ) ( ), i 则有 a a q r      

（元[1,i]B(2)a(a)B(2)的左上角元素r(a)符合引理的要求故B(2)为所求的矩阵,i) 在A(a)的第一行中有一个元素ai;(a)不能被au(a)除尽，这种情况的证明i)与类似ii) A(a)的第一行与第一列中的元素都可以被au(a)除尽，但A()中有另一个元素a;()(i>1,j>1)

[1, ] 11 ( ) ( ). ( ) i r B a                B( )  的左上角元素 r( )  符合引理的要求， 故 B ( )  为所求的矩阵. ii) 在 A( )  的第一行中有一个元素 a1i ( )  不能被 11 a ( )  除尽，这种情况的证明i)与类似. iii) A( )  的第一行与第一列中的元素都可以被 11 a ( )  除尽，但 A( )  中有另一个元素 ( ) ( 1, 1) ij a i j   

被au()除尽 我们设 ai()=au()p()对A(2)作下述初等行变换：an(a) ... ar,;(a) :A(2)ai(a) :... a;(a)au(a)a;(2).[i-1(g)]0a;(a)-ai;(a)p(a)

被 11 除尽. a ( )  对 A( )  作下述初等行变换: 11 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j i ij a a A a a                 11 1 1 ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) ( ) . j ij j a a a a                  1 11 ( ) ( ) ( ). i 我们设 a a      i 1( )  

an(a) ... a;(a)+(1-p(a)ai(a) ..[1 + i]0a,(a)-a;(2)p(2)= A(2)矩阵A(2)的第一行中，有一个元素：a;(a) +(1 -p(2))a,(2)不能被左上角元素au(a)除尽，转为情形i)证毕

11 1 1 ( ) ( ) (1 ( )) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ij j ij j a a a a a                       1  A ( )  矩阵 A1 ( )  的第一行中，有一个元素： 1 ( ) (1 ( )) ( ) ij j a a       不能被左上角元素 11 除尽，转为情形 ii) . a ( )  证毕. 1 i

任意一个非零的 s×n的一矩阵A(α)2．（定理2）都等价于下列形式的矩阵称之d(a)2)d,(2)d,(a)的0标准形0其中r≥l，d,(a）（i=1,2,,r）是首项系数为1的多项式，且d,(a)di+i(a) (i =1,2,..",r-1)

2.（定理2）任意一个非零的 s n  的  一矩阵 A( )  都等价于下列形式的矩阵 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 r d d d                  其中 1, ( ) ( 1,2, , ) i r d i r    是首项系数为1的 多项式，且 1 ( ) ( ) ( 1,2, , 1). i i d d i r      称之 为 的 标准 形. A( ) 