陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 若尔当标准形（λ-矩阵）

[11-α22-12220[1,3][1 3+-1 1+?2α-1 1- 1 23-101-+0012220[2-1(22-1),[3+1(2-1)]1

2 [1,3] 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1                     3 1 2 3 2 1 2 1 1 0 1                      2 [2 1(2 1),[3 1( 1)]] 3 2 1 0 0 0 0                      

001220元[2,3]0 2+3-001020[3-2(a)]0?+ -?-001[3-2(a+1)]002= B(2)[3(-1]０2+B()即为 A()的标准形

2 [2,3] 2 3 1 0 0 0 0                 [3 2( )] 2 2 1 0 0 0 0 0                   [3 2( 1)] [3( 1)] 2 1 0 0 0 0 ( ) 0 0 B                    B( )  即为 A( )  的标准形

$8.3不变因子入一矩阵的标准形不变因子二、三、入一矩阵等价的判定四、例子

一、λ－矩阵的标准形 二、不变因子 §8.3 不变因子 三、λ－矩阵等价的判定 四、例子

一、入一矩阵的标准形1.定义：设一矩阵A()的秩为r，对于正整数k，1≤k≤rA(a)中必有非零的k级子式，A()中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式 Dk(2)，称为A(2）的k阶行列式因子注：若 秩(A(a))=r，则 A(a)有 r 个行列式因子

1. 定义： 一、λ－矩阵的标准形 注： k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 Dk ( ),  称为 A( )  的 A( )  中必有非零的 k 级子式， A ( )  中全部 k 级子式 设  －矩阵 A( )  的秩为 r ，对于正整数 k ， 1 ,   k r 若 秩  A r ( )    ，则 A ( )  有 r 个行列式因子

2.有关结论（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级D行列式因子（即初等变换不改变一矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，一矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。设 A(a)经过一次初等变换变成 B(2)，f(2)与g(a) 分别是 A(a)与 B(2)的k级行列式因子。下证f=g，分三种情形：

行列式因子. 1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级 （即初等变换不改变  －矩阵的秩与行列式因子） 证：只需证，  －矩阵经过一次初等变换，秩与行 列式因子是不变的． 2. 有关结论 设 A( )  经过一次初等变换变成 B( )  ， f ( )  与 g( )  分别是 A( )  与 B( )  的k级行列式因子． 下证 f g  ，分三种情形：