陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第八章 若尔当标准形（λ-矩阵）

2.定义：将单位矩阵进行一次入一矩阵的初等变换所得的矩阵称为孔一矩阵的初等矩阵注：①全部初等矩阵有三类：行P(i,j)=行

将单位矩阵进行一次  ―矩阵的初等变换所得的 矩阵称为  ―矩阵的初等矩阵. 2.定义： 注：① 全部初等矩阵有三类： i行 j行 1 1 0 1 1 0 1 1       P i j ( , ) 

i行p(i(c)) =Ci行9(2)p(i, j(p(a) =行1L

1 1 ( ) ( , ( ( ))) 1 1 p i j                      i行 j行 1 1 ( ( )) 1 1 p i c c                  i行

初等矩阵皆可逆2）p(i,j)-1 = p(i,i)p(i(c)-I = p(i())p(i,j(p(a)-1 = p(i, j(-p(a)③对一个s×n的α一矩阵A(a)作一次初等行变换就相当于在A(a)在的左边乘上相应的 s×s的初等矩阵；对A(2)作一次初等列变换就相当于在 A(a的右边乘上相应的nxn的初等矩阵

② 初等矩阵皆可逆. 1 p i j p i j ( , ) ( , )   1 1 ( ( )) ( ( )) c p i c p i   1 p i j p i j ( , ( ( ))) ( , ( ( )))        ③ 对一个 s n  的  ―矩阵 A( )  作一次初等行变换 就相当于在 A( )  在的左边乘上相应的 s s  的初等矩 阵；对 A( )  作一次初等列变换就相当于在 A( )  的右 边乘上相应的 n n  的初等矩阵

二、入一矩阵的等价1、定义：a一矩阵 A(a)若能经过一系列初等变换化为一矩阵B(2)，则称 A()与B()等价2、性质：1）一矩阵的等价关系具有：反身性：A(2)与自身等价.对称性： A(2)与 B(2) 等价 = B(2)与 A(2) 等价传递性：A(2)与 B(2)等价，B(2)与 C(2) 等价 A()与C()等价

为  －矩阵 B( )  ，则称 A( )  与 B ( )  等价.  ―矩阵 A( )  若能经过一系列初等变换化 1)  ―矩阵的等价关系具有: 反身性: A( )  与自身等价. 对称性: A( )  与 B( )  等价  B( )  与 A( )  等价. 传递性: A( )  与 B( )  等价, B( )  与 C( )  等价  A( )  与C ( )  等价. 二、λ－矩阵的等价 1、定义： 2、性质：

2) A(2)与 B(2) 等价台 存在一系列初等矩阵P... Ps.Q....Q, 使 A(a)= P....P,B(a)Q,...Q.三、入一矩阵的等价标准形1.（引理）设一矩阵A()的左上角元素αu(α)≠0,且A(2)中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与 A(a)等价的矩阵 B()，它的左上角元素bu(a)±0，且 ?(b()<a(au(a)) :

2) A( )  与 B( )  等价  存在一系列初等矩阵 1 1 , P P Q Q S t 使 1 1 ( ) ( ) . A P P B Q Q    S t 1.（引理）设  ―矩阵 A ( )  的左上角元素 11 a ( ) 0,   且 A( )  中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 A( )  等价的矩阵 B( )  ，它的左上 角元素 ，且 . 11 b ( ) 0   11 11    ( ( )) ( ( )) b a   三、λ －矩阵的等价标准形