无穷级数习题课 习题课之二：函数项级数内容总结： 包括：函数项级数的一般概念； 和函数的求法； 幂级数的概念与函数展成泰勒级数
无穷级数习题课 习题课之二：函数项级数内容总结： 包括：函数项级数的一般概念； 和函数的求法； 幂级数的概念与函数展成泰勒级数
一、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R Taylor级数 R(x)→0 收敛域 Taylor展开式
一、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R 收敛域 Taylor级数 R (x) → 0 n Taylor展开式
一、幂级数 (1) 定义 0 形如∑4，(x-七)”的级数称为幂级数。 n=0 当x=0时， 其中，n为幂级数系数， 1= (2) 收敛性 0 对 ∑a,x 总存在正数R使得 =1 当x<R时，幂级数绝对收敛； 当x>R时，幂级数发散；发散 收敛 发散
一、幂级数 (1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当x0 = 时 n n n a x =0 其中an为幂级数系数. (2) 收敛性 当 x R时,幂级数绝对收敛; 对 n=1 n n a x 总存在正数 R 使得 当 x > R时, 幂级数发散; −R O R x ( ) 发散 收 敛 发散
R一收敛半径，(-R,R)一收敛区间， 设 lim n+1 =p (或lim4yan=p) n→o n->co (1) 则当p≠0时，R=;(2) 当p=0时，R=+0; 0 (3)当p=+o时，R=0. 注①形如∑anlp(x”的级数，求收敛域 应先求出 ∑aJy 的收敛半径R |p(x)kR一-) 原级数的收敛点
Ｒ－收敛半径， (−Ｒ,Ｒ)－收敛区间. 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (2) 当 = 0时,R = +; (3) 当 = +时,R = 0. 注 ①形如 n n a [(x)] 的级数，求收敛域 n n a y 的收敛半径Ｒ |(x)| R －－原级数的收敛点 应先求出
|p(x)>R一一原级数的发散点； 再研究|p(x)=R的点的敛散性。 ②用公式R=lima. 求收敛半径。 n-→oLn+1 n,n+1应是x”,x+1的系数，否则 可作代换或直接利用比值法或根值法来确定。 ③求出收敛半径后，必须用常数项级数审敛法判定 端点x=士R处的敛散性
|(x)|> R －－原级数的发散点； 再研究 |(x)|= R ② 用公式 1 lim + → = n n n a a R 求收敛半径。 1 , n n+ a a 应是 1 , n n+ x x 的系数，否则 可作代换或直接利用比值法或根值法来确定. ③求出收敛半径后，必须用常数项级数审敛法判定 端点 x = R 处的敛散性。 的点的敛散性