§9.5函数展开成幂级数 两类问题：在收敛域内 00 幂级数∑anx” 求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容： 一、泰勒(Taylor)公式 二、泰勒(Taylor)级数 三、函数展开成幂级数
两类问题:在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 公式 三、函数展开成幂级数 §9.5 函数展开成幂级数 二、泰勒 ( Taylor ) 级数
一、泰勒(Taylor)公式 为了研究一个给定函数是否可以表示成为一个幂 级数的问题，我们首先讨论一个给定函数是否可以近 似表示成为一个多项式的问题. 考察任一n次多项式 Pn(x)=a+a41(x-xo)+a2(x-x)2+.+an(x-xo)”(1) a=n.a=,4=,a,=P 21 多项式p(x)的各项系数由其在点x的各阶导数 值所唯一确定
一、 泰勒(Taylor)公式 为了研究一个给定函数是否可以表示成为一个幂 级数的问题，我们首先讨论一个给定函数是否可以近 似表示成为一个多项式的问题. 考察任一n次多项式 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )n n n p x a a x x a x x a x x = + − + − + + − (1) ( 0 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 1! 2! ! = = = = n） n n n n n p x p x p x a p x a a a n 多项式 p x n ( ) 的各项系数由其在点 x0 的各阶导数 值所唯一确定
对于一般函数f(x),设它在点x处存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个次多项式： Tc-) (2) ++fm((x-x (2)式称为函数f(x)在点x处的泰勒多项式， 其中各项系数(k=0,12,)称为泰勒系数. k! f(x)=Tn(xo),k=0,1,2,.,n
0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ( ) ( ) ! n n n f x f x T x f x x x x x f x x x n = + − + − + + − (2) （2）式称为函数 f x( ) 在点 x0 处的泰勒多项式， ( ) 0 ( ) ( 0 1,2 , ) ! k f x k n k 其中各项系数 = ， ， 称为泰勒系数. ( ) 0 0 ( ) ( ), 0,1,2, , k n f x T x k n = = 对于一般函数 ，设它在点 处存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个次多项式 : f x( ) 0 x
定理1（泰勒(Taylor)中值定理)设函数f(x)在 [a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)内存在 (n+)阶导函数，则对任意的x,x∈[a,b],至少存在 一点5∈(a,b),使得 -)fx)-+G) 21 (%(x-x+R(x) 其中 5是介于x,与x (4) (n+1)！ 之间的某个值
定理1（泰勒(Taylor)中值定理） 设函数 f (x) 在 a b, n (a b, ) (n +1) x x a b , , 0 (a b, ) 上存在直至 阶的连续导函数，在 阶导函数，则对任意的 ，使得 内存在 ，至少存在 一点 0 0 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x f x f x x x x x f x x x R x n = + − + − + + − + ( ) ( ) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) (4) 1 ! n n n f R x x x n + + = − + 其中 (3) 是介于 与 之间的某个值 0 x x
在泰勒公式(3)中，如果取。=0，泰勒公式变成带 有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式 f0+09r+0r 21 (n+1)月 (5在0与x之间) 例1写出函数f(x)=e的带有拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式。 e=1+x+ es +.·+一子、《 21 n！ (n+1)! (5在0与x之间)
在泰勒公式(3)中,如果取 x0 = 0 ，泰勒公式变成带 ( ) ( 1) 2 ( 1) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) 2! ! ( 1)! n n n n f f f f x f f x x x x n n + + = + + + + + + 有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式 （ 在 0 与 x 之间） ( ) ex 例1 写出函数 f x = 的带有拉格朗日余项的n 阶麦克劳林公式。 2 e 1 e 1 2! ! ( 1)! n x n x x x x n n + = + + + + + + （ 在 0 与 x 之间）