收敛定理卷积应用Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式定理 4设f(α)在（-8o,+）上绝对可积.若f在α处有广义的左导数和右导数,则 f(a) 的 Fourier 积分在 α 收敛于 (a+0)f(a-0),即,2f(α + 0) + f(α - 0) ((4)(a() cos Aa + b(A) sin Ac) d入.2证明 令 s = (e+0)+f(α-0), (t) = f(α+t) + f(α - t) - 2s. 若 f 在 a2处有广义的左导数和右导数，则容易验证f（a）在a附近满足Lipschitz条件从而(t)在[0,]上可积且绝对可积.根据Dini定理，f(ac）的Fourier积分在c收敛于s，即（4）成立.证毕推论 1 设 f(α)在（一o,+)上绝对可积若 f 在α处可导,则f(α)的Fourier积分在c收敛于f(a)，即(5)f(α) =(a() cos Aa + b() sin ) d)返回全屏关闭退出11/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ ½n 4 f(x) 3 (−∞, +∞) þýéÈ. e f 3 x ?k2Âê Úmê, K f(x) Fourier È©3 x Âñu f(x+0)+f(x−0) 2 , =, f(x + 0) + f(x − 0) 2 = Z +∞ 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ. (4) y² - s = f(x+0)+f(x−0) 2 , ϕ(t) = f(x + t) + f(x − t) − 2s. e f 3 x ?k2ÂêÚmê, KN´y f(x) 3 x NC÷v Lipschitz ^. l ϕ(t) t 3 [0, δ] þÈ ýéÈ. â Dini ½n, f(x) Fourier È©3 x Âñu s, =, (4) ¤á. y. íØ 1 f(x) 3 (−∞, +∞) þýéÈ. e f 3 x ?, K f(x) Fourier È©3 x Âñu f(x), =, f(x) = Z +∞ 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ. (5) 11/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
收敛定理卷积Parseval等式应用Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质定理4的条件可以做一些修改，得到定理5设f(c）在任意有限区间上可积且绝对可积，且存在M>0使得当 lαcl ≥ M 时, f(c) 是单调的,且 lim f(c) = 0. 若 f 在 处有广义的左导数和右导数,则 f(α)的积分表示在 α 收敛于(f(α +0)+f(αc-0),即.Of( +0) + f(α - 0) (6)(a(^) cos 入a + b() sin 入) d入, 2其中f(E) cos 入 dE,b() =f() sin AE ds.XX返回全屏关闭退出II-12/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ ½n 4 ^± ?U, ½n 5 f(x) 3?¿k«mþÈ ýéÈ, 3 M > 0 ¦ |x| > M , f(x) ´üN, lim x→∞ f(x) = 0. e f 3 x ?k2 êÚmê, K f(x) È©L«3 x Âñu 1 2 (f(x + 0) + f(x − 0)), =, f(x + 0) + f(x − 0) 2 = Z +∞ 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ, (6) Ù¥ a(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(ξ) cos λξ dξ, b(λ) = 1 π Z +∞ −∞ f(ξ) sin λξ dξ. 12/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ