收敛定理卷积应用Fourier积分Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式定理 1 若 f(α) 是（-o,+)上绝对可积函数, a(),b() 是 f(α) 的Fourier积分的系数，记S(u,a) =(a(^) cos 入a + b() sin ^) d入,则sin ut(3)(f(α +t) +f(α -dt.S(u,a)t元证明将（1）代入S（u，）中，并由引理2得元S(u,a) =f(t)(cosAtcosa+sintsin入a)dt)d)二Tα+αf(t) cos 入(t - αc)dt ) d入AXdt.f(t) cos >(t - )d)返回全屏关闭退出I=6/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ ½n 1 e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, a(λ), b(λ) ´ f(x) Fourier È©Xê, P S(u, x) = Z u 0 a(λ) cos λx + b(λ) sin λx dλ, K S(u, x) = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) + f(x − t) sin ut t dt. (3) y² ò (1) \ S(u, x) ¥, ¿dÚn 2, S(u, x) = 1 π Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λt cos λx + sin λt sin λx dt dλ = 1 π Z u 0 Z +∞ −∞ f(t) cos λ(t − x)dt dλ = 1 π Z +∞ −∞ Z u 0 f(t) cos λ(t − x)dλ dt. 6/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier积分Fourier变换的性质因此C+8sinu(t-a)1f(t)S(u,a)dt三t-元8+81sin utdtf(a+tt六tXr0+α1sin ut1sinutf(α+t)dtf(c+t)dt十tt元元S8+α+81sinut1sin utdtf(α+t)dt+f(at一tt元元Jo0+x1sinut(f(a+t)+f(a-t)dt.t元0注此定理将Fourier积分的部分积分转化为不包含a(V),b(Λ）的表示这相当于Fourier级数的讨论中将Fourier级数的部分和表示为积分返回全屏关闭退出7/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ Ïd S(u, x) = 1 π Z +∞ −∞ f(t) sin u(t − x) t − x dt = 1 π Z +∞ −∞ f(x + t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) sin ut t dt + 1 π Z 0 −∞ f(x + t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) sin ut t dt + 1 π Z +∞ 0 f(x − t) sin ut t dt = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) + f(x − t) sin ut t dt. 5 d½nò Fourier È©Ü©È©=zع a(λ), b(λ) L«. ùu Fourier ?ê?Ø¥ò Fourier ?êÜ©ÚL«È©. 7/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
应用收敛定理Fourier变换卷积Parseval等式Fourier积分Fourier变换的性质定理2(Fourier积分局部化定理）若f(α）是（一o,+o）上绝对可积函数，则f(a）的Fourier积分在某点是否收敛，以及收敛到什么值，仅与f在附近的函数值有关证明设>0.将(3）右端中的部分积分的表达式分成两段-sin ut1dtS(u, ) =(f(α +t) + f(α -t)+元J0+α1sin utdt(f(α +t) + f(α -十t元Js= I1 + I2.因为 f(a) 在 (-00,+o0) 上绝对可积, 所以 p(t) = f(a+)+(a-t) 在[8, +80)t上绝对收敛 根据 Riemann-Lebesgue 引理,有 lim+β(t) sin ut dt = 0. 因此limIz =0.这就说明 lim S(u,α)是否收敛仅与Ii有关.而Ii仅与 f在附近的值有关.证毕返回全屏关闭退出18/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ ½n 2 (Fourier È©ÛÜz½n) e f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼ ê, K f(x) Fourier È©3,: x ´ÄÂñ, ±9Âño, = f 3 x NC¼êk'. y² δ > 0. ò (3) mà¥Ü©È©Lª©¤üã: S(u, x) = 1 π Z δ 0 f(x + t) + f(x − t) sin ut t dt + 1 π Z +∞ δ f(x + t) + f(x − t) sin ut t dt = I1 + I2. Ï f(x) 3 (−∞, +∞) þýéÈ, ¤± ϕ(t) = f(x+t)+f(x−t) t 3 [δ, +∞) þýéÂñ. â Riemann-Lebesgue Ún, k lim u→+∞ R +∞ δ ϕ(t) sin ut dt = 0. Ï d lim u→+∞ I2 = 0. ùÒ`² lim u→+∞ S(u, x) ´ÄÂñ= I1 k'. I1 = f 3 x NCk'. y. 8/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用Fourier积分收敛定理Fourier变换Parseval等式Fourier变换的性质定理3(Dini定理）设f(α)是（一o,+o）上绝对可积函数，s是任意实数.对固定的&，记p(t) = f(α +t) + f(α-t) -2s.若存在 > 0 使得 (t) 在 [0, ] 上可积且绝对可积, 则 f 的 Fourier 积分在处收敛于s.即, J+ simut dt = 1, 所以由 (3),得C+osin utdt=证明因为，10t元Jot+α1sin utdtS(u,a) - s :(f(α+t)+f(α -t) -2st元1+81p(t)2ssin utdtsin ut dt -tt元TJs+81sin utf(α +t) +f(α -dt+t元Js= I + I2 + I3:II返回全屏关闭退出9/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ ½n 3 (Dini ½n) f(x) ´ (−∞, +∞) þýéȼê, s ´?¿¢ ê. é½ x, P ϕ(t) = f(x + t) + f(x − t) − 2s. e3 δ > 0 ¦ ϕ(t) t 3 [0, δ] þÈ ýéÈ, K f Fourier È©3 x ?Âñu s. y² Ï R +∞ 0 sin ut t dt = π 2 , =, 2 π R +∞ 0 sin ut t dt = 1, ¤±d (3), S(u, x) − s = 1 π Z +∞ 0 f(x + t) + f(x − t) − 2s sin ut t dt = 1 π Z δ 0 ϕ(t) t sin ut dt − 2s π Z +∞ δ sin ut t dt + 1 π Z +∞ δ f(x + t) + f(x − t) sin ut t dt = I1 + I2 + I3. 9/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
卷积应用收敛定理Fourier变换Fourier变换的性质Parseval等式Fourier积分在定理2中已经说明月limI3 = 0.-→+若存在>0使得(t)在[o,]上可积且绝对可积，则根据Riemann-Lebesgue 引理, 有lim Ii = 0.1对于Iz中的积分，作变换=ut,得+8+8sin utsinvdt =dv.tJud因为 J+ du 收敛, 所以+αsinulimdv = 0.U→+Jud因而 lim I2 = 0. 于是u-→+8lim S(u, a) = s.u→+8这表示f的Fourier积分在c处收敛于s.证毕返回退出全屏关闭I?10/34
Fourier È© Âñ½n Fourier C Fourier C5 òÈ Parseval ª A^ 3½n 2 ¥®²`² lim u→+∞ I3 = 0. e3 δ > 0 ¦ ϕ(t) t 3 [0, δ] þÈ ýéÈ, Kâ RiemannLebesgue Ún, k lim u→+∞ I1 = 0. éu I2 ¥È©, C v = ut, Z +∞ δ sin ut t dt = Z +∞ uδ sin v v dv. Ï R +∞ 0 sin v v dv Âñ, ¤± lim u→+∞ Z +∞ uδ sin v v dv = 0. Ï lim u→+∞ I2 = 0. u´ lim u→+∞ S(u, x) = s. ùL« f Fourier È©3 x ?Âñu s. y. 10/34 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ