=元to(cos2g言sin2p),(p=arg(a-zo). 显然2→2时会恕没有唯一确定的极限。 . 若6=0，则哈=，f0)=1n=0. 2.若f()正则于0内，且处处f()=0,试证明f(z)只能是 一常数 “证因为)-器+碧份别根据假设，则 器箭0器-器-0， 从而u(x,)=常数C1,v(x,)三常数C2,f(2)e常数C1十C2, 3.试以极坐标写出哥西-黎曼方程， 解：因为x=r cos p,y=r sin,则 器=6op+inp影那-7n器+7cap器 8器=cop3驶inP器g=-sinp2reop3瑞 利用-需等器比较正述的第兰二等式三，四等武即 得极坐标形式下的哥西-黎曼方程： 4.若H(5,n)在ξ=+in,平面上的区域D内有直到二阶的 连续偏微商，之=f()=x(,n)+iy(5,n)是D内的正则函数，试 证明 .器+器-for(器+器） 证因为()是5的正则函数，那么 ·27·
證+导-0+器-0影器+离兴-0 再由多元函数的复合函数微分法，并利用上述三个等式可得 器+器-[院+1（器+） -f(器+琴》 (上述等式告诉我们：如果H是x、y的调和函数，在变换2=f(5) 之下，H变为、n的调和函数；反之，如果H是、n的调和函 数，而且f(5)+0,那么，在=f1(2)的变换之下，H是、的调 和函数) .5.设u(x,)=3x2-3y,试求正则函数f(2)=4+iw,使 f0)=i 解s)-器+2+0-j6a+6a+c J0.0,3y J0,0) =6a(e0)+0=6y+0, f()=3(x2-y2)+6x划+C=3(x斗y)2+iC=3z2+C, 因∫(0)=言，则须Cx1.所求的正则函数为f()=32十， 这里，我们也可按照下述方法来求(z): 因为-器64所以=6ay+p()又因为器-器-6g 所以6g+p'(x)=6g,p'(x)登9，p()=常数C.则 ·f(z)=(3x2-3y2)+i(6y+C)=3z2+C, 再从f(0)÷,便得同样的结果. 6.试按导数的定义，讨论下列函数的可导性： (1)f()=;(2)f(z)=Rea;(3)f(2)=zRez 7.试证明f()=√xy在z=0处满足哥西-黎曼方程，但 它却不可导. 。- ·28·
8.若0-f(a)在域G内正则，其值含于域D内，函数p(w)在 D内正则。试证明复合函数[f(z)]在G内也正则，而且 efe=品p)fa以. d 9.若加=f(2)是城G内的双方单值的正则函数①，值域是D, 而且∫(z)≠0.试证明反函数1(w)是D内的正则函数，其导数 品1o)=ro 10.试验证下列函数满足哥西-黎曼方程： 2子(a≠0；e(eosy+isiny.) 11.试利用极坐标形式的哥西-黎曼方程，证明 r=偿+開=品-》 12.若w=f(z)=R(cogΦ+i8in中)是z=x+iy的正则函 数，试证明 器A碧器=-A2 13.若w=f(z)=R(cos中+sinΦ)是名=x十iy的正则函 数，且0≠0，试证明 合贸-是n+兴碧-号a 14.若0=f(z)=R(cos中+isinΦ)是z=r(cosp+isin) 的正则函数，试证明 器-9治那-韶 15.若()=w十知是正则函数，8与n是两个正交向量，从 ①双方单值的函数，也叫单叶的函数，它的含意是：若z1≠z,则f(z:)+f(). 。23·
s按逆时针方向旋转受能重合于%试证明· 器熙来杂 (侵与男表示沿8n的方向导数) :?:16.:(续)试证明 了(e)=[o6e-isin(.能+) =[os(该，川-isia(e,0](+别》 17.若f(2)是域G内的正则函数，试证明：如果在Q内处处 满足下列条件之一，那么f()必是一个常数. (1)Ref(z)或Imf(z)为常数； (2)1f()川为常数；， :(3)f代2)仅取实数值或仅取遮数值； (4)()仍在G内正则. 18.若u(x,）.与(x,y)分别是正则函数f()的实部与虚 部，而且()卡0，试证明曲线族： u(x,)=c1与(x,)=c2 互为正交(c1、c2是实常数). 19.若f(是正则函数，试证明：~曲线f(z)川=c(c为实常 数)以0为重点的充要条件是'()=0， 20.试证明u(云，)与(x,)的哥西-黎曼方程等价于 (grad u,grad v)=0,Igrad u=Igrad l. 21.兹定义如下算符： 品=得-》是-（保+》 试证明：（1)若f(e)正则，那么品)=了(，是影f)=c 30·
(2)若(，)为调和函数，那么品（红，）是某一正则函数f), 而4(，)=f(a. 22.若f(z)=u(x,)+iv(x,y),试证明du+dv与dx十idy 成比例是f()可导的充要条件. 23.在下列已知条件下，求v(x,y),使得f()=u十iv为z 的正则函数： (1)u(x,)=x2-2+xg,f(0)=0 (2)u(x,y)=x3+6x2y-3x2-2y3,f(0)=0; (3)u(x,)=r+g (4)u(z,3)=2ln(x2+2). 24.若f(2)=u十)是z的正则函数，而且 u-v=(x-y）(x2+4xy+y2), 试求u(x,)与(x,). 25.已知u=u(√x2++x,v=(√x+g-x),试求正则 函数f(z)=u+iv. 26.若u=u(x2-y2),试求正则函数f(2)=u+iw. 27.若H(x,y)与K(x,)具有连续的偏导数，而且f(十iy) =u十v是正则函数，f'(z)≠0，试证明 +跨-（照瓷+路） 28。若0=f(z)正则，f'(z)+0,f(2)川+1，求证函数 t(.) 满足他徽分方程器盟+器=0。 ·31·