29.若w=f(2)正则，试证明： 婴+-， (a)(层+)fa=4f 4f'(z)12 ()(多+器）a+e19=8 30.如果f(z)是圆|z一0<？内具有连续导数的正则函数， {z}与{分}是圆内的两个收敛于0的点列，且2卡(n=1,2,3, .),试证明 () 31.若w,v都是xy的有理函数，而且u十i0=f()是云的正 则函数.试证明f()是2的有理函数，可以表示成 f()=(a,0)+w(a,0)=(0,)+i0,〉} 并用例子u=x2-2-3x+2,v=2xy-3划验证之. ·32
第三章初等函数与它 所构成的映射 §1，初等超越函数的定义与它的基本性质 exp z=e*=e*(cosy+i sin y), c092se“+eia 2，sin2=e-e: 2元y tg2=sin之 eg- cha=eite 2，sh2=e-e4 2 对另外几个三角函数与双曲函数，有如实数城中类似的定义， 从指数函数e的定义，显然看出它是以2πi为周期的周期函 数，即对一切复数名恒有 e+2.i=e2) 从而推得e+2i=e(k=0,士1，士2，.).让z=ig,就是著名的 欧拉公式 eir=coso+ising. 因此，任一复数z=r(co3p+ising)可以表示成z=re”,它是复 数的指数表示式. 由以上三角函数的定义，不难看出：对于实变元三角函数所 具有的周期性以及它们之间的关系式，在复数域中都保持成立.但 必须指出的是，不等式|inz≤1，|co3z≤1不再成立了（见例题 2). 我们不难证明：e,sin乙，co3名，sh名，ch名是处处正则的；而 g,c8名等，除了在其定义式中使其分母化为零的点外，也是处 ·33·
处正则的。同时，对于它们在实数域中的导数公式，这里也一样成 立例如品=品ing=co3,等第。 例题与习题 1试证明 siniz=ishz;cosiz=chz; tgiz=ith a;ctgiz=-icthz. 证根据定义，我们分别有 nia=2会=in好 2i coieeh 2 2 6ia=2铝-整-he ega2品g-ioh 我们注意，从本题的恒等式出发，由三角函数的每一个关系 式，相应地可以得到双曲函数之间的一个关系式.例如，在恒等式 sin2z+cog2z'=1中令2'=iz推得ch2z-gh2z=1,等等. 2.试求sin名，cos名的实部、虚部与模. 解令=x十i头，则 sinz=sin(x十i)=sin z cosiy十cos siniy =sin x chy+icos x shy, % Refsinzh=sin a chy,Imdsina}=cos z shy. 同理可得Re{cosz}÷cos x chy,Im{cogz}=一sin xsh.而且 Isin=sin2zchy+cos2xsh2y 、 sin2(1+shy)+cos2rsh2y 、34
=√Gin2z+ah 同理可得1co8z=√chy-8in2元. 3.满足关系式e“=z的w,叫做2的对数，记作切=Ln名，试 求它的表达式. 解令0=4十u,名=re".则由e"=名，即 e"eio=tei 得出e"=r,)=0十2kπ，即 u=1n",v=9+2kπ.(k=0,±1，土2，). 则 w=lnr+i(0+2kn)=Inz1+iArgz. 可见，2的对数有无穷多个值，它们之间相差2πi的整数倍.若以 arg名表示幅角的主值（一π<arg2≤π），则 Lnz=Inla+iarg &+2kni. 或者 Lnz=Inz+2kxi, 此处ln名=lnz十arg么，称为对数的主值. 4.满足关系式8in切=名的w,叫做2的反正弦，记为 w=Arcsinz. 试证明Arcsin 2=-Ln(iz+/1-z2), 证依定义，我们有 名=sin0=e”-ete 2—,e-2iz-e-t"=0, (ew)2-2izew-1=0. 解得e”=名十√1一z2,则 w=Ln (iz+-)=-iLn(iz+) 5.试证明e=(e);但e=(e)只有当名=r时才能成 立(k=0,士1，士2，.). 证eF=ef-i=e*et"=e*(coa一8sin) 。35 w
=e*(cos划十sin)=e（cosy+isin) =e+而=e, 但是 e=etiz=e(cosz+isina) (1)》 (eiz)-e-ve-iz=e-(cosc-ising) (2) 若要(1)、(2)两式右端相等，必须e'=e',sinx=一sinx同时满 足，此即引=0，x=kπ.于是z=x十i划=kx 6.试求方程式 (+(++w= 的数夹，为满时回)-气：为有数时©)= ( 解不难看出，该方程可以变形为 (1+)=(1-x)", 即（告”-1，则±子兴化=0，”，-1，当为偶数时 牛》从而 兴-1兴-e片 e+1+。 x=2, 7.试求函数sin之，cos之，sh名，cha的零点. 8。试用欧拉公式，证明 (0）co0=+o20+e40 (2)in9cow9:0eon0-3cn30-0o,50+acs70. 3 036