第三章数值微分和数值积分
2 第三章 数值微分和数值积分
数值微分 ■函数(x)未知或非常复杂的情形下，如何求导数？ ■导数的逼近：差商 f'(x)=lim f(x+h)-f(x) -0 h =lim f(x)-f(x-h) h-→0 h =lim f(x+h)-f(x-h) h→0 2h ■截断误差 ■步长的选取 3
数值微分 函数 未知或非常复杂的情形下，如何求导数？ 导数的逼近：差商 截断误差 步长的选取 3 f x( ) 0 0 0 ( ) () '( ) lim () ( ) lim ( )( ) lim 2 h h h fx h fx f x h fx fx h h fx h fx h h → → → + − = − − = +− − =
数值微分 向前差商 fx)≈3+h)-f) h 截断误差 R(x)=f()-f+)-f) h 27f"(5) =O(h) 0 Xo xo+h 4
数值微分 向前差商 截断误差 4 h f x h f x f x ( ) ( ) '( ) 0 0 0 + − ≈ o x y 0 x 0 x h + 0 0 0 ( ) () ( ) '( ) ''( ) 2! () fx h fx Rx f x h h f O h ξ + − = − = − =
数值微分 ■ 向后差商 fx)≈f)-f-) h 载断误差 R(x)=f'(x)- f(xo)-f(xo-h) h " h =O(h) o xo-h Xo x 5
数值微分 向后差商 截断误差 5 0 0 0 () ( ) '( ) fx fx h f x h − − ≈ 0 0 0 () ( ) ( ) '( ) ''( ) 2! () fx fx h Rx f x h h f O h ξ − − = − = = o x y 0 x h − 0 x
数值微分 ■中心差商 f'(x)≈+h)-f-h) 2h ■载断误差 R()=f(x,)-f+h)-f-) 2h 3) =0h2) o xo-h Xo xo+h x 6
数值微分 中心差商 截断误差 6 0 0 0 ( )( ) '( ) 2 fx h fx h f x h +− − ≈ ' 0 0 0 2 (3) 2 ( )( ) () ( ) 2 () 3! () fx h fx h Rx f x h h f O h ξ +− − = − = − = o x y 0 x h − 0 x 0 x h +