则-5→0，即1im2=5 4.若Re2n≥0，工an与号都收敛，试证明级数工号绝对 收敛 证令2=x,+i,根据假设，则二x,收敛（因而二x片收 敛)，（一）也收敛.但 2公x异-公（鼎-）=引2w12, 所以级数引云2收敛. 6.令&。=之a试导出下述的阿贝尔变换： 当ab,=+b,-abnl- 461- 并证明下述的狄里赫利判别法：若1∑a≤M(m=1,2,.), im6.=0而且之b:-b收敛。则级数∑ab:收敛 证因为an=am一aw-,则 6会4-4a-喜，尝 n+2 +1 n+1 +1 -a.-aba n+p-1 =an++ano+1-a(b:+1-b). 机+1 下面证明后半段的结论.。由上述公式，则 2ala+lk+蓉aal +1 <MIb+b+1l+∑Ib-b+id +1 。17·
根据所设条件，对任给的e>0,存在N,当>N及任意自然数P, 恒有 a录器w女员 从而学。，<.这蚊是泉们所要证明的。 n+1 6.试证明下述的阿贝尔判别法： 若b}是单调有界的实数序列，∑a,收敛，则级数∑a,b。 收敛. 7.试判别下列级数∑：的敛散性： (1)=器： (2)之n=cosz十言sin%; (3)名n=eos%+isin%, (4)名=cos+iinn(6>0)； n1+0 (56)={1+》月 (6),=a+1)a+n-1)B(B+1).(B+n-1) 1y(y+1).(y+n-1) (Re{a+B-y}<O,超几何级数) 8.试求序列n=>2的极限， =0 9.试以序列{"}为例，说明由名m→o并不能推出|花n|→co, Iyn|-→oo. 10.试证明存在极限1im2n≠0的充要条件是，存在极限1im |≠0与1 imArg n(对适当确定的Arg名，而言).而且，当im云n 18
不是负实数时，Arg之，可以取为它的主值-π<argn≤π， 11.若)是点列1，名2，.，2，.的一个极限点，试证明从它 总可以选出一个子点列小，2，.，.使得着→ 12.试证明从条件n→，可以推出 -+2++名20 若0=©∞时，结论还正确否？ 18.若→6求旺女-会十格不芙中6b.为 任恋复数，使得奶丰二对一切都大了一个图定的正数 M,而且(Ibl+.+|b.)→o. 14.若给定无穷多个数4，排成形式： a11 21a22 C31a32g33 . 满足条件()对每一个固定的卫，a→0；(i)存在正的常数M,对 一切n都有an1十a2+.+【an【≤M.试证明：如果2n→0，则 2a=a12十aa23十.十cnn2n→0. 15。假设满足.上题条件的数a,还满足(i）A.一会a→1， 试证明从之。→5可以推出a之n十an2之m十.十an2n-→， 16,若2”→，%→"，试证明 (1)名=22+22+.+ -→'” (2)=2出+221+.+22→51g" ·19·
17.若→5，试证明 10 其k=a-》a-飞+卫》 \n/ ‘k1 。18.若m→0，→0，而且存在正的常数M,使得对一切%都 有引！十.+引≤M,试证明 212%十22州-1+.十201→0. 19.试证明级数∑收敛的充要条件是，对每一个自然数序 0 列P1,P2,.,P.都有名+1十n+2十.十+，→0. 0.若之，的第部分和为{行}有界：正数序列6. 满足bn->b,√/nb.→0且√m(bn-b.41）收敛，试证明 之a,b.收敛 21.若收敛级数∑an=A,∑b.=B.令 Cn三a1bn十abn-1十.+an-b2十anb1, 8m=C1十C2十.+Cm, 试证明1m81十2十=AB,而且，如果∑c,收敛，则它的 和也等于4B(阿贝尔定理). 22.在测地投影之下，问球面上那些点分别对应于1，一1， ·20·
23.试求下列曲线在测地投影之下，于球面上的像曲线： (1)射线arg2=a;(2)圆周2=x. 24.试求下列区域在测地投影之下，于球面上的像区域： (1)Re>0;(2)Im>0;(3){z|<1. 25.若，？是平面上的两个定点，试求在测地投影之下，它 们像点之间的距离（用1,2表示）.并考虑当2趋向于无穷的 情况. 26.试证明在测地投影之下，平面上任一圆周都变成球面上 的圆周；反之亦然（平面上的直线被认为是半径无穷大的圆）. 2?.若M与M'分别位于平面与球面上，是测地投影下的对应 点，C与C是过M的两条曲线，T与'是它们的像曲线，试证明 C与C的夹角等于T与Γ'的夹角. ，21·