(12)0≤arg8<爱 (13)|2+Rez≤1； (14)|z-al+i名-b1=k·(6>0); <1; (15)2-15a<1. >1. 1.若点4，n位于过原点的直线的同一边，试证明 十.+0，+.+0， 52。若，P2,.,P是不全为零的非负实数，试证明多项式 2”一P12-1一p22-2-.一卫，-12一卫恰有一个正的零点。 53.若z0是x十a12-l+a22-2+.十an的零点，试证明 12不大于z”一az-1-a22n-2-.一an的正零点. 54,若c1,c2,.,cn为正数且c1十c2十.十cn≤1,20为多项 式2”十a1z-1十.十4n的零点，试证明 1m(受 CL' 5。若2o为2”十a12-1十.十an的零点，试证明 |z≤max(nal,√raT,/nanT), |2≤2max/1a 56.若p>p>.>P>0,试证明12≤1上不可能有p+ p2十.十Bn2的零点. 57.若多项式P(2)=2"十412-1+.十an全部的零点位于 上半平面Im>0,令as=a:十iB,试证明 U(a)=2"+a2-l+.+a,V(2)=月2+B12-1+.+Bn 仅有实零点. 8.若p2+12-1十.十Pa-12十卫n的系数都是正数，试证
明它的军点位于圆环a<1到<A内，共中a与B分州是会费 .,卫。的最小值与最大值. Pa-1 59.若a1与22是单位圆|2<1内的两个定点，试证明属于 三角形名1221的任何名（只要2+1)都满足 ≤k 此处K=K(2,2)是仅与、2有关的常数.若1=1十， 22 之，试确定K的最小位。 §2.复数序列与级数，测地投影 (一)设给定序列{zπ} 21,22,.,2,. 若对任给的e>0,存在自然数V=N(e,当n>N时，恒有 |2n一2o<e,我们就说序列{z收敛，其极限为0记作 lim名=20- 判断一个序列是否收敛，有下述的充分必要条件， 哥西定理要使序列{2n}收敛，当且仅当：对任给的e>0,存 在N=N(e),只要n>N,m>N便有|2n一名mI<e. 设给定一个无穷级数 +十.+2十.2南 我们称8n=名1+22十十2n为它的第n部分和，若{8}当→∞时 有确定的极限&，就说级数是收敛的，其和是8（若{s}的极限不存 在，则说级数发散). ·13·
关于序列、级数的一些基本运算与性质，有与实数域的情况相 类似的命题成立，今仅写出下面的定理，其余就不一一叙述了. 定理：若∑|zn收敛，则∑z必收敛.此时，我们称工zn是 绝对收敛的， 注意到公是一个非负项级数，因此，判定非负项级数收 敛性的任何已知准则（如哥西根值判别法，达朗贝尔比值判别法 等)，可以作为判定复数项级数绝对收敛的准则. (二)复数球面，测地投影与无穷远点的概念 若由序列{z}各项的模组成的序列{n},当n→o∞时，其极 限是无穷大，我们就说{2}是一个趋向于无穷的点列，记作 1imn=∞或2n→c0(m→c0). 下面我们将复数用一个球面上的点来表示，并且给出上述等 式以简单的几何解释.为此，我们取一个在原点O与z平面相切 的球面（设直径长等于1，见图1）.其中过点O且垂直于z平面的 (n) x() 图1 球直径与球面有第二交点P,称为极点.对于平面上的任一点， 用直线P:将它与极点相连接，直线P?与球面有（异于P的）另一 个唯一的交点M;反之，除极点外，对球面上的每一点N,平面.上 也有唯一的确定点：与它对应，2就是直线PW和平面的交点。 ·14·
这样，平面上的点和球面上的点（除极点P外）之间便建立了一一 对应的关系.若点列{2}趋向于∞，那么显然地，{2}在球面上的 像点列就趋向于P点.因此，我们把P点作为“无穷”的像是很自 然的，？平面上与P相对应的那个唯一的点，称为复平面上的无穷 远点. 上述的平面与球面之间的对应变换，叫做测地投影，它建立了 球面上的点和平面上包括唯一无穷远点在内的点之间双方单值双 方连续的对应关系.以后，我们称包括无穷远点在内的平面为扩 大的复平面或完全平面. 如果我们选取坐标系0初5，使O5、On分别重合于平面上的 0x、O,而O5则沿着OP的方向.那么，测地投影的变换公式为： =点g=即受 或 专中京T中T5“行 例题与习题 1.若名n=n+名n(n=1,2,),20=0十i0,试证明{2n}有 极限o的充要条件是，{x}有极限xo,{n}有极限o(关于级数也 有类似的结论)」 证这个结论容易从下述的不等式和极限的定义推出来。一 方面，从|一≤引2，一，一0≤引n一2o|推出条件的必要 性；另一方面，从！之。一z≤xa一十l。一推出条件的充 分性 2.若arg≤受-d(d>0,试证明级数立，与2引m的 敛散性相同， 证我们只要证明当云n|发散能推出二也发散就行了， 事实上，由于 ·15·
al三oa(arg2a）co(g-d)9ind n 根据批较判别法可见，当引n发散时，二x必发散，从而工云也 发散. 3.若2n→5，而1，P2,.是任一使得P=卫十.十卫→0的 正数序列，试证明 =+.十n3-Pa十(-P)a2+.+(巴-卫-z p1+·+Pn P 也以5为极限. 证首先，假设=0.那么，根据条件，对任给的e>0,存在 m,当>m时，恒有，<分另外，显然存在N(使N>m),当 n>N时，有 p2十+Pal<号 P 因而，当%>N时 11≤卫1+十pm3L+lpa+13m+1十.+卫2l P P <号+号xaut<号+号=e 此即 1im2=5=0. 其次，假如5+0.我们令2%=一，那么2→0，依上述的 证明应有 0,=卫2++2→0， P 但是 0n=p(31-)+.+n.(2-2 P =2十.+-十+p兰=4-6， Pn P ·16·