例1 求点(xi,Ji,z)关于(1)xOy面；(2)z轴；(3)坐标原点；(4)点(a,b,c)的对称点坐标解讠设所求对称点的坐标为（x2,J2,z），则(1)Xz=Xi,J2= J1, +Z2=0,即所求的点的坐标为(xi,Jr,-z);(2)X + X, = 0, 1 + J2 = 0,z2 = Z1即所求的点的坐标为(-Xi,-Ji,z):(3)X +x2 = 0,J1 + y2 = 0,Z + z2 = 0,即所求的点的坐标为(-xi,-Ji,-z);C经济数学微积分
解 例 1 求点( x y z 1 1 1 , , ) 关于(1)xOy 面；(2)z 轴；(3)坐标原 点；(4)点(a b c , , ) 的对称点坐标. 设所求对称点的坐标为 ( x y z 2 2 2 , , ) ，则 (1) x x y y z z 2 1 2 1 1 2 = = + = , , 0, 即所求的点的坐标为 ( x y z 1 1 1 , , ; − ) (2) 1 2 1 2 2 1 x x y y z z + = + = = 0, 0, , 即所求的点的坐标为 (− − x y z 1 1 1 , , ;) (3) 1 2 1 2 1 2 x x y y z z + = + = + = 0, 0, 0, 即所求的点的坐标为(− − − x y z 1 1 1 , , ;)
X+X2+Z2i + y2Z1(4)=C.=b,a.222即所求的点的坐标为(2a -xi,2b- J1,2c-z)微积分经济数学
(4) 1 2 1 2 1 2 , , , 2 2 2 x x y y z z a b c + + + = = = 即所求的点的坐标为 (2 ,2 ,2 . a x b y c z − − − 1 1 1 )
二、空间两点间的距离设M(i,J1,z)、M(x2,J2,z2)为空间两点,Rd=MM =?71在直角△M,NMQ及直角△M,PNPN中，使用勾股定理知y0d? =M,P2 +|PN2 +NM,[2X福经济数学微积分
设 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间两点， x y z O • M1 P N Q R •M2 d = M1M2 = ? 在直角M1NM2 及直角 M1PN 中，使用勾股定 理知 , 2 2 2 2 1 2 d = M P + PN + NM 二、空间两点间的距离
ZR: [M,P=x, -xlQ[PM|= [y2 - yil,NPy[NM2| = 32 - z1,.. d = /M,PI2 +[PNI +[NM,]MM2/= /(x2 -x) +(y2 - y) +(z2 -z)空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为M(x,y,z)，O(0,0,0)则 d =OM = /x2+y?+z2.经济数学微积分
, M1P = x2 − x1 , 2 1 PN = y − y , 2 2 1 NM = z − z 2 2 2 2 d = M1P + PN + NM ( ) ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 M M = x − x + y − y + z − z 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 M(x, y,z) , O(0,0,0) 则 d = OM . 2 2 2 = x + y + z x y z O • M1 P N Q R •M2
例 2 在y轴上求与点 A(3,-1,1)和点B(0,1,2)等距离的点解因所求点M在y轴上，可设其坐标为(0,J,0)，依题意有[MA| = |MB|,即/(0-3) +(y+1) +(0-1) = /(0-0) +(y-1) +(0-2)3解之得y=故所求点为M-.2经济数学微积分
解 例 2 在 y 轴上求与点 A(3, 1,1 − )和点B(0,1,2) 等距离的点. 依题意有 因所求点M 在y 轴上，可设其坐标为 (0, ,0 y ) ， MA MB = , 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 3 1 0 1 0 0 1 0 2 − + + + − = − + − + − y y 解之得 3 , 2 y = − 故所求点为 3 0, ,0 . 2 M −