3.连续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度國 定义设(X,Y)是二维随机向量,若存在非负函数f(x,y), 使得对于平面上的任意矩形区域D={(X,Y)a<X<bc<Y<d} 都有 P(X,Y)∈D}=(x,y)d 则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为联合概率密度 记为(X,Y)~f(x,y) 性质(1)f(x,y)≥0,(x,y)∈R2 )j91或/(x,yb=1 ()P(X,Y)ED= fx, y)dxdy 其中D为任意可度量区域 返回
返回 定义 设（X，Y)是二维随机向量,若存在非负函数f(x,y), 使得对于平面上的任意矩形区域D={(X,Y)|a<X<b,c<Y<d} 都有 = D P (X,Y) D f (x, y)dxdy 则称(X,Y)为二维连续型随机向量,f(x,y)为联合概率密度， 记为（X，Y)～f(x,y) 性质 (1) f(x,y)≥0 ，(x,y)∈R2 = D (3)P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy 或 f ( x, y )dxdy = 1 + − + − 3. 连续型随机向量的联合概率密度,边缘概率密度 其中D为任意可度量区域
边缘密度函数 对于连续型随机向量(X,Y)~f(xy),分量XY的密度函数称 为边缘密度函数 已知联合密度函数,容易求出边缘密度函数。 f(x)=f(x)=f(x, y)dy f(y)=f()=f(,y)dx 事实上,(1)f(x)≥0,(2)若a<b,则 P(asx<b =P(as xb, -<Y<+oo =5 dxf(x,y)dy =f(x)所以(x是x的概率密度同理可证f(y 注二维连续型随机向量不能简单地定义为“各分量都是 维连续型随机变量的随机向量
返回 对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y),分量X,Y的密度函数称 为边缘密度函数。 已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。 + − + − = = = = f y f y f x y dx f x f x f x y dy Y X ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) 2 1 事实上, (1)f1 (x)≥0, (2) 若a<b,则 P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}= + − dx f ( x, y )dy b a = b a f 1 ( x )dx 所以,f1 (x)是X的概率密度,同理可证f2 (y). 边缘密度函数 注 二维连续型随机向量不能简单地定义为“各分量都是 一维连续型随机变量的随机向量
常见的二维连续型随机向量 (1)均匀分布若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f/xy=15(x,y∈D 0其 其中D为可度量的平面区域,S为区域D的面积 则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布 对于D中任意可度量子区域G有 P(x,y)∈G}=f(xM7 C dy=u GD D 其中SG为区域G的面积 返回
返回 = 0 其它 ( x, y ) D S 1 f ( x, y ) D 其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积. 则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布. (1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 对于D中任意可度量子区域G有 D G G G D S S dxdy S P x y G f x y dxdy = = = 1 {( , ) } ( , ) 其中:SG为区域G的面积. 常见的二维连续型随机向量
例2.5设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布国□ 其中D={(xy)x2+y21},求X,Y的边缘密度函数f(x)和f2(y) 解(1)由题意得 y2≤l f(x,y)= 其它 f(x)= f(x, y)dy 当x>1时,f(x,y)=0,所以f1(x)=0 均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 x/同理 f2(y)={z √- 0 x>1 0 y>/返回CA8
返回 例2.1.5 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1 (x)和f2 (y). 解 (1)由题意得: + = 0 其它 x y 1 1 f ( x, y ) 2 2 + − f ( x ) = f ( x, y )dy 1 X Y -1 1 2 y = − 1− x 2 y = 1− x 当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1 (x)=0 当|x|≤1时, + − − − − − − − = + + 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x f 1 ( x ) [ ] f ( x, y )dy − − − = 2 2 1 x 1 x dy 1 2 1 x 2 = − 所以, − = 0 | x | 1 1 x | x | 1 2 f ( x ) 2 1 − = 0 | y | 1 1 y | y | 1 2 f ( y ) 2 2 同理, 均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布
(2)二维正态分布 定义如果(X,Y)的联合密度函数为 f(r,y) 2丌0O2 √l- p 2(1-p2) 11 )-2p y ]} 其中-∞<41,2<+∞,12>0,a2>0,Pk1 则称(X,Y)服从参数为A1,2,a2,a2,p的二维正态分布, 简记为 (x,)~N(4,2,O12,O2,p) 返回
返回 [( ) 2 ( ) ]} 2(1 ) 1 exp{ 2 1 1 ( , ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 − + − − − − − − − = x x y y f x y ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N 1 2 1 定义 如果(X,Y)的联合密度函数为 其中 则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布, 简记为 , , , , 2 2 2 1 2 1 , , 0, 0,| | 1, 2 2 2 − 1 2 + 1 (2) 二维正态分布