西安石油大学理学院：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第6讲 克拉默法则

证明 用D中第例列元素的代数余子式 J 依次乘方程组(1)的n个方程,得 x1+a1,x,+…+a,x.)A,=b n a.x, t y+∴+a、x 2n n x,+a.,x,+…+a.x.)A=b.A n2 mn 在把M个方程依次相加,得

证明                       n n nn n nj n nj n n j j n n j j a x a x a x A b A a x a x a x A b A a x a x a x A b A     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 依次乘方程组  的 个方程 得 用 中第 列元素的代数余子式 1 , , , , 1 2 n D j A j A j  Anj 在把 n 个方程依次相加，得

∑ k141+…+ ∑ j 十∴ ∑ =1 k: ∑b4 k=1 由代数余子式的性质可知,上式中x的系数等于D, 而其余x(≠)的系数均为0;又等式右端为D 于是Dx1=D/G=1,2,…,n) 当D≠0时,方程组(2)有唯一的一个解 D D D 2-2 D D D

, 1 1 1 1 1 1                                n k k kj n n k j kn kj n k kj kj n k k kj b A a A x  a A x  a A x 由代数余子式的性质可知, Dx D  j 1,2, ,n. j  j   . D D , , x D D , x D D , x D D x n     n  2 3 2 2 1 1 x D, 上式中 j的系数等于 而其余x i j的系数均为0; i  . 又等式右端为Dj 于是 2 当D  0 时,方程组2 有唯一的一个解