线性代数重点难点30讲 第27讲线性方程组概念题选讲 一、克莱姆法则 2x1+a2x2+…+a2 线性方程组 如果系数行列式D=1A|≠0,则方程组有唯一解 D 其中D,是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式 二、线性方程组的基本概念 br aiXi+ anI2+"+ amla b2, 方程组 a,la1+ am,I2+.+ amt,= b 称为m个方程n个未知量的非齐次线性方程组 be b 则上述方程组可记为(矩阵形式)Ax=b 若记 则上述方程可改写为(向量形式)x1a1+x2a2+…+x,an=b
笫27讲线性方程组概念题选讲 aIn b11 矩阵 A=[A: b 称为方程组(*)的增广矩阵 anx1+anx2+…+ aInt=0 a21x1+a2x2+…+a2xn=0 方程组 () 0 称为n个未知元m个方程的齐次线性方程组,它是非齐次线性方程组(*)的导出组,其矩 阵形式为 Ax=0, 向量形式为 r1a1+x2a2+…+x2an=0 线性方程组解的判定 1.齐次线性方程组Ax=0 定有解(至少有零解),且秩(A)=n时,有唯一零解;秩(A)=r<n时,有非零解 且有n-r个线性无关的解向量 2.非齐次线性方程组Ax=b 若秩(A)≠秩(A)=秩[Ab],无解 =n,有唯一解; 秩(A)=秩(A)=秩[Ab] <n,有无穷多解 注意设A为m×n矩阵,若R(A)=m,则R(A)=R(Ab),从面Ax=b一定 有解(参看第25讲例10) 四、非齐次组Ax=b与齐次组Ax=0解的关系 Ax=b有解台秩(A)=秩A={A=b有唯一解 <n台Ax=b有无穷多解 Ax=b有唯一解→Ax=0只有零解与秩(A)=n Ax=b有无穷多解→Ax=0有非零解台秩(A)</x=0 注意非齐次组Ax=b有无穷多解(唯一解),则Ax=0有非零解(仅有零解).但反过 来不成立,即Ax=0有非零解(仅有零解),不能推导出Ax=b有无穷多解,甚至Ax=b 可能无解.因为由秩(A)<n(=n),不一定能得到秩(A)=秩(A) 五、线性方程组解的性质 (1)如果n1,2是齐次线性方程组Ax=0的解,则n1+马2也是它的解 (2)如果η是齐次线性方程组Ax=0的解,则对任意常数k,k也是它的解
158 线性代数重点难点30讲 (3)如果?是非齐次线性方程Ax=b的一个解,而n是其导出组Ax=0的一个解则 +n是方程组Ax=b的解 (4)如果1,72是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,则1-y2是其导出组Ax= 0的解 六、线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的结构 设n,n2,…,n为齐次线性方程组Ax=0的一组线性无关解如果方程组Ax=0 意一个解均可表为n1,2,…,n的线性组合则称n,n,…,n为方程组Ax=0的一个 础解系 设A为m×n矩阵,若秩(A)=r<n,则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系 基础解系包含n-r个线性无关的解向量,这时方程组的通解可表示为 其中k1,k2,…,k。,为任意常数,n1,n2,…,,为齐次方程组的一个基础解系 2.非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组Ax=b的任意一个解均可表示为方程组Ax=b的一个特解与其与 出组Ax=0的某个解之和 当非齐次线性方程组有无穷多解时,它的通解可表为 x=n。+k1n1+k2男2+…+k.,可 其中n为Ax=b的一个特解,k1,k2…,k,为任意常数,n1,n,…,n,为其导 组Ax=0的一个基础解系 建议读者:在解下列典型例题之前,最好能熟记住上述六个基本知识点,因为下面的 题是为考查读者对上述所列基本概念的理解程度及解方程组的能力面精选的 七、例题选讲 例1(2002年全国考研数学试题)已知4阶方阵A=(a1,2,a3,a4),a1,a2,ax3,Cm 均为4维列向量,其中a2,3,4线性无关,a1=2a2-a3,如果B=a1+ax2+a3+a 求线性方程组Ax=B的通解 解由于秩(A)=r=3,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系包含n-r=4-3 1个线性无关的解向量n,从而非齐次线性方程组的通解的一般形式为x=n+k1n 中n是Ax=B的一个特解,k1为任意常数 把a1=2a2-a3代人Ax=B,即Ax=ax1+a21+a3+a4,得 ax1,(x2,(3,(4) =3a2+a4
第27讲线性方程组概念题选讲 159 x1a1+x22+x3a3+x44=3a2+a4, (2x1+x2)a2+(x3-x1)a3+x:a=3a2+a4 2x1+x2=3 x2=3-2x1, 故有 0 x3=x1, x4=1 分别令x1=0,x1=1,得Ax=B的两个特解=(0,3,0,1),5=(1,1,1,1).则其差 是其导出组Ax=0的解n=5-n=(1,-2,1,0) 故线性方程组Ax=B的通解为x=m+kn1= 0 例2已知B1,B2是Ax=b的两个不同的解,a1,a2是相应齐次方程组Ax=0的基 础解系,k1,k2是任意常数,则Ax=b的通解是() (A)ka, +k(a, +a,)+51 B2:(B)k,a, + k, (a-a)+B+p2 (C)k1a1+k2(B2-B1)+ k;a1+k2(B1-B2)+B1+B 解因为5(B1-B2)为Ax=0的解,而非Ax=b的解由解的结构理论知,(A)、(C) 不正确虽然a1,B1-阝2均为Ax=0的解,但是否线性无关不确定,因此不一定为基础解 系,排除(D),故正确选项为(B).事实上,a1,a1-gx2均为Ax=0的解且易证线性无关(由 k1a1+k2(a1-a2)=(k+k2)a1-k22=0,可推出只有k1=k2=0).于是a1,a1 a2也可作为Ax=0的基础解系,由A/B1+B2 MB+⊥AB2=2b2b=b知, B2B为Ax=b的特解故(B)式为Ax=b的通解表达式 例3设方程组 anx1 +a1r2+.+aimex =0, anI+ an2r3+ 的系数行列式A|=0,A中某元素a的代数余子式A≠0.试证(A1,A2…,An)是该 方程组的一个基础解系 ∴|A|=0,A3≠0,即A有一个n-1阶非零子式,∴秩(A)=n-1,故方程组 x=0的基础解系含一个解向量.由A≠0知(A1,A2…,A=)2≠0,所以只要验证
线性代数重点难点30讲 (An,Aa,…,An)是方程组的一个解即可,事实上 au a1 A 例4设A是n阶方阵,a是n维列向量,若秩 =秩(A),则线性方程 (A)Ax=a必有无穷多解; (B)Ax=a必有唯一解; -0仅有解:(0030多有半 解R(A)≤R(A!a)≤R =R(A),∴,R(Aia)=R(A)故方 组Ax=a有解,但不能判定Ax=a是有唯一解还是无穷多个解因而(A)、(B)都不 aa 是n+1阶方阵,且 =R(A)≤n<n+ 0 Aa1「x 所以方程组 =0必有非零解,显然(C)不正确.只有(D)正确,应选(D) 例5已知向量n1= 0/= 是方程组 2 4 a1x1+2x2+a3x3+a4x4=d1, x1+b2x2+3x3+b4n=d2 的三个解求该方程组的通解 解由线性方程组解的结构定理知:只要求出已给非齐次线性方程组的导出组