由X≠0,可知X至少有一个分量不等于0 不放设x≠0,则xx>0,因此 X= =x1+…+xnxn>0 Xn 所以 九-九=0, 因此九=几,即九是实数
0, , − = = 所以 因此 即 是实数 由 可知 有 X X 0, . 至少 不 一 量 个分 等于0 1 1 1 1 1 1 1 0, 0, ( , , ) 0 T n n n n x x x x X X x x x x x x x = = + + 不放设 则 因此
定理 设),入是实对称矩阵A的两个特征值,P,P 分别是对应的特征向量,若入≠2,则P,与P2正交 证明P1=p1,九2P2=Ap2,九≠入 A对称,A=AI, .n,=(ap)Y=(p)'=p,7A=p,TA, 于是 1p1p2=pp2=p(P2)=2p1p2 → (亿-2)p1p2=0., 元≠人2,p1P2=0.即p1与p2正交
1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , . A p p p p 设 是实对称矩阵 的两个特征值 分别是对应的特征向量若 则 与 正交 定理 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
定理 设A为n阶实对称矩阵,入是A的k重特征值, 则 (1)入必有k个线性无关的特征向量, 2)将它们正交化,单位化后,得到入的k个相互正交的 单位特征向量, 定理 设A为阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P 使 P-AP=P'AP=D. 其中D是对角形矩阵,且D的主对角线上的元素 是A的全部特征值
1 , , , , . T A n P P AP P AP D D D A − = = 正交矩阵 是对 设 为 阶实对称矩阵 则必有 使 其中 且 的主对角线上的元素 是 的全部 角形矩阵 特征值 定理 , , 设 为 阶实对称矩阵 是 的 重特征值 A n A k 则: 定理(2) 将它们 , 后,得到 的 个相互正交的 k 单位 正交 特 化 单位化 征向量. (1) ; 必有 个线性无关的特征向量 k