的不变因子,行列式因子为4的不变因子,行列式因子 定义V设]1().]2().d]n(为A阵Pm(或线性变换A)的不变因子,又 PI (入 似 1≤(≤ 这里21;≥0.8≠t时,(p(A,p2入)=1,p(从)是不可约的首一项式则称{p/(x)|1≤ (≤m.1≤,≤T.2;≥1}为A(或A)的初等因子 显然,由](入川x+1()及.et(Am-A)=]1(X)…]n(入)可以得到 1<,<U ∏( t(入 je;(入)=nd 例1设A阵C12m2的不变因子是 1.(入-1)2.(-1)2(+1).(-1)2(X+1)(2+1)2d 则A的初等因子为(λ-1) 1)2,(A-1)2,A+1,A+1,(-√=1)2,(x+√=T)2d 定理V设A.[阵Pm,则A与[相似当且仅当A与[有相同的初等因子 证若A与[相似,则A与[有相同的不变因子,由因式分解唯一性知A与[有相同的初 等因子 反之,若A与[有相同的初等因子.可按降幂A序排列如下: m1()p1(x)口dklp(x)似 dad p2(A)22U pr(x)1.p1(入) 似 这里2≤2≤…≤2n1≤,≤T,当7+1≤(≤n时,令2=0,令 1;(入)=Ⅱ(A(-+.1≤(≤nd 于是];(入川+1()d1≤(≤n-1,因而]1(入).…]n(入为A与[的不变因子.故A与 例2设A阵Rm,A的初等因子为 试求n及A的不变因子. 解 1+2×1+2×1+2+2×2+2=1V, 202
8=Z +,Z 7$89 ?@89 s0=> 8=Z; B " W 8&Eb "#89 !" K & -E : 8=Z q ;<Z . /. $;<Z 7 $8=ZKZ+r0+ $; <Z 4 7 $;<Z&stuv,#?F B . W Æ Æ Z 8=Z3 : ;<Z wf 8=Z <
A的不变因子为 d13(入)=(X-1)2(2+5)2(A2++1) d12()=(A-1)2(A2+5) d1()=A-1 0(从)=d(入 d1(A) 一般,将A的特征矩阵AI2-A化为标准形,然后求初等因子较麻烦.下面定理使求初等因子较 为简单 定理4设A∈P2×2.A的特征矩阵MI2-A等价于对角矩阵 D()=diag(h(A), h2(A),., h2() 其中h(入)是首一多项式,且有因式分解 h()=p1(入)21p2() (X)2",mc≥0, 则A的初等因子为{()mo≥1 证显然D(入)的k级行列式因子DA()是 {ha(入)h2(A)…h2(入λ)1≤i1≤≤…≤ik≤7 的最大公因式现将mn,m2,…,m2按照递增顺序排列为m1’,m2′ 2.于是有 k)=I() 因而D(入)的不变因子为 dk()=Ⅱp3),k=1,2,…,m 故A的初等因子为 {p;(X)2|md≥1}={p(x)2m1} 203
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P式复方阵的Jord相似标.2 复7之方阵 J=dt(J(A1,称),J(A2,称),j,J(A,称) 这里 J(A;,称) 则为 Jordan{},J(A,称)则为 Jordan块 引理1)OdA这阵(1)的初解因子为(式A),1≤s 证M4然dkt(;式J(A1,称)=(入式A),而入;式J(A,称)中R称式1不子I 式1A式 式1A式入 式1A式 式1 故J(入,称)的因变因子为1,j,1,(A式A)k.故J(A,称)的初解因子为(入式A),(e由 定理34知J的初解因子为(A式),1≤醛s 定理2两个 donda这阵 J=dt(J(A,称),J(A2,称),j,J(λs,称) J2=d(J(H1,l1),J(μ2,l2),j,J(,l)) 5P的充知必要条件e8=t,)经适当排列后 称=l,而=1,2,jj,S∈ 证由引理1知,J的初解因子知别为{(式A)n1≤s},{(式)3n1≤A≤扑 (e由定理33知定理成 定理2也可叙述两个 Honda这阵5P当)仅当它们V含λonkh,除式Q=e5同的 定理3+A∈CnM,则A5P(一个Adh这阵,)这个 Honda这阵除 donda,的 式Q=et一的,它则为A的MlAh标准形 证+A的初解因子为(A式A1)相前,(A式入).(eA5P( J=d(J(入1,称),J(A2,称),jj,J(A 由定理2知除MKdA,的式q=,Jet一的 线性变换的观点,定理可叙述为 定理4+Ve复0|CU"维线性空间.A∈EndV.则A,V的某组基下的这阵为 λondh这阵,)此 dorda这阵除 Bond an,的式Q=et一的 204
xyÆ_ $ " $ $ $ B $ $ H . ;<Z !" $ $ 7 3 $ 8=Z 3 $ ;<Z K X + $ ;<Z C $ " $ $ $ $ " $ % & $ % & $ % & h+i3]Z " C{.v,] % & KcX + $ $ ;<Z+g % " K X + XeN X <&|}C . /.TM z $ T Æ;* ;<Z $ " $ $ $ K X + $ s0=>{| X&|} rs0to ! @,p? Y
例1设A.C2P2r且A的不变因子是 11dll(AI1)21(AI1)2(+1)(I1)2(X+1)(x2+1)2∈ 试求A的 marist标初形 等由A的不变因子求出A的初等因子:(AI1)2,(λI1)2,(AI1)2,A+1,入+1, (AI√T12,(+√7)2∈故A的 amidst标初形为 disg(All All All I 1 I 1 A2 A3) A3 I√T1 ∈ I126 例2求A= 03|的 midst标初形 等将A的特征矩阵作初等变换 入+126 aII a 11AIk 入Ik IPO AI 0Ⅰ入+1IA2+3入I2 10 IPo AI1 Ⅰ入+ 00I IPO AI 0 由此得A的初等因子为AⅠ1(XI1)2r因而A的 mardet标初形为 010 011 注有的书将 205
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叫做or∈块k乘后方注地g义Aor∈Ai、=d节j结论仍乘成价=
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