11-lid23 线性+间的两m运算反映了+间向量的两m运算1向量加k,向量与数的乘k的规律.但是+间向 量间另外两mn要的性质,向量的长度及向量间的夹角在线性+间理论中并未得到反映,这两m性质无论 在实际上或是在理论上其价值怎么估计也不过分.本章将讨论反映这两m性质的线性+间,即 Euclid 空间的定义 数学起源于人们对“数”与“形”的研究.对“形”中的三角形的研究无论是对于数学科学的建立和 数学科学的教学都是很n要的.对三角形的认识最早只有定性的认 两边i和大于第三边”,“大角对 大边,小角对小边”.再后,对特殊的三角形,j角三角形有了定量的认识:“勾三,股四,弦五”,更一 般是“勾(平)方加股(平)方等于弦(平)方”或“j角边的平方和等于斜边的平方.最达到了对三角 形的完全的定量的认识“余弦定理”.因此我们说+间(或平面)中两个向量的长度及夹角间的关系突出 地表现为余弦定理 设O,P,Q为+间中三点,令a P,a,B间夹角为A,由余弦定理 17世纪R.De 数”和“形”紧密地结合在一起,这 是数学的一个n要的转折点.下面用解析几何的观点,来表现余弦定理 以O为原点建立;角标系OXYZ.设a=(x,mn,x1),B=(xyx2日于是 y/1/y×21/2 20
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因而由中)可( 啪.1(卫4中.1)B4中 PA)PA, PA(A)FA, PI (lAnG 因可A 1nl=(.(P4).)P A样41或1向的知ⅡYP确0的,,14时}的之1应A即()个以向的仅自变的的二初 要,A记仅中n)与A+12≥可,称仅A的n的故A从4)知 on)=中oAo 快.A. A kpip n)=k.中on) A cpfp n)o 中A≥00 且同号成初当且仅当A=0≥ 可外A还Ⅴ 吟=中on)4n 从上面不三个质A抽等出下面因,学1等 定义与设e是.,变R上的线空间.e上的二初要,中n)子果例足 与)1称:中n)=中oA)s4on矩e≤ {)线n:快, 1. KeLp n)=k,电.on)4kpn)k.okP矩 Ro A. Apn矩e≤ 3)正0n:中A≥0≤而且中4=0当且仅当A=0≤ 故称中n)是e的个内积≥0换这故积的.线空间初做 Euclid空间≥ 例与记R=R”n≥而Rn中0换 中n)=An'o4n矩Ro n仅n的转置.故中n)仅故积AR仅E这空间 事.上AAn矩R·=R<且 on)=中m)=nA=电oA)o 快. 1. A kpIp n)=嗽,AAkp1n k中on)4kPPn)o 记A=啪,otP
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且(a,a)=0当且仅当a1=a2 =an=0,即a=0 注一般说×1×n为 Euclid空间时,均指例1中所定义的内积 说×nx1为Eucd空间时,内积为 (a,B)=aB,c,B∈xn×1 例2设[a,b为闭区间.令V=C(a,b)(见例43.5).在V中定义 f(x)g(x)dr,f,g∈V, 则(f,9)为V的内积,V=C(a,b)为 Euclid空间 事实上,首先有 ( 9)=f(a)g(r)dr=/g(a)f(a)d r=(9, f 又若k1,k2∈x,f1,f2,g∈V,则 (k1+k22,9)=/(f(x)+k22(m)(r)d ki/fi(a)(a)dr+k2/f2(a)g(a)dr =k1(f1,g)+k2(f2,g) 最后,显然 (f,f)=/2(x)d≥0 当且仅当f(x)=0时,(f,f)=0. 3设V=×[].任取一区间[,b,在V中定义 p(a), g(a))= p(c)g(a)dr 则(p(x),g(x)为V的内积,V为 Euclid空间 从例3可以看出,在一个实2性空间中可以定义不同的内积使其成为 Euclid空间 Euclid空间中的内积有以下性质 1.(a,k1B1+k2B2)=k1(a,B1)+k2(a,B2) 用内积定义中的对称性及2性性即可得此性质 这个性质说明内积不仅对第一个变量,而且对第二个变量都是2性的,因而内积具有双2性性 2.(0,6)=(3,0)=0,W∈ 3.(o,a)≥0,故√(a,a)有意义,称为a的长度,记为|a.显然 ka=|lc,k∈x,a∈V a=0当且仅当a=0 209
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