6.2标准形的唯一性 本节A,明一个1-B、的标准形在与一的,并A给出两个1-B、等价的条件 定义1/设A)∈P]m×明r到于)=r,k∈N明A)的k级行列式因子Dk刊于)) 1)1≤k≤T时,Dk))为A于)的所有k级子式的道的)最大公因式 2)k>T时,Dk到形)=0明 多 名1 例1求0 所多1的行列式因子 解以A)表示上面B、,D1)=D1刊于)明由 是t12A)=多1 A 月A于)=于多1)+2 知 D1于)=D2于)=1,D3于)=于多1)+)2+ 例2设d)d+1平),i=1,2,的的T多1明隹 d1) d2) AF) 则A形)的k级行列式因子为 Dk理正)) d1于)d2)的的k),1≤k≤T上 0 证作然子,的的ik)将,的的)时,或k>r时,4)(1的的 而k≤r 1的的k 1的的 d1手)的的手) 由于讠<j≤T时,d形),故结论成立 引理1设A)∈P[]×,则A)经过初等变换后,其行列式因子不 证因为对于行变换,与列变换的,明在一样的,故我们只需要,明A)经过次初等行变换行 列式因子不变就可以了 1)B)=PyP)A)明此时A)=PyP-)B)明此时B于)的k级子式或为 A)的k级子式,或为A于)的k级子式的c倍.即B)的k级子式在A)的k级子式的组 合.故Dk4)DkB)明反过来解成立.故Dk刊))=DkB于)明
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2c这PC中,jcAP此时AiPC中,jc这P,此时这P准则若n为AiP准 则若n准土b倍阵故D. Ai PccL.这Pr 3c如果 这PC中,)元PccA APC中,-元P这Pe 此时这iP准则若n可为AP准则若ni当此n划去了第行c可为AiP准“矩则若 n加上另“则若n准士元P倍a当此n未划去第i行c例所中这P准则若neAP准则 若n准列义阵故 D,APdD.i这iP 反所中AP准则若n也e这P准则若n准列义阵(e D, Ai PdD,这Pe D. A Pccd这PC 推论若AP这P等价中形它们准有5同阵 上因为它们行列n因一5等中故有5同阵 式文2设AP这B∈P第多形下面三矩条件等价阵 P~这P cD. 2 Pccc.这P,则Cb,2, 3 c A Pc唯这iP有5同准阵又形中即有5同准使变因一阵 上3cC→ bc ap这i有5同又形DP即AiP~DP这P~DP,故 AP~这aP bcC2cAR~这i即证AP施行初等变换可语AP化为这P,由引理b行 d2Apcccd 2这PtC 2cC→3c若D, 2 A2PccC D.i这Px则Cb,2,…设AB,这iPe准阵又形行别为 dipC ApCc diPc bp8
YW YW 7 7 @3 #6 YW 7 7 .YfkSW + 7 A 7 @ .YlfkW + 1 7 7,3 4 7< 7, 3 BC 7 <N TM $ ZTM+,Z < 3 $ ?_E]Z<N $Æ;* 5 $8=Z $Æ;* 5 3 5 d+;<=>& J KcX + 7 Æ;*+g
B1(X) es() 故A()~A1(入),B(A)~B1(入),于是 :(A1(A)=Dk(4(A) Dk(B(入) B1() 例2知T=8,且k>T时Dk()=0;1≤ Dk(A)=d1(A)d2()…dk(A)=e1(A)e2(X)…ek(入) 于是有 d1(A)=e1(A)=D1(入 d2()=e2(=D2(/D1() dk(入)=ek(A)=Dk(X/Dk-1(入),1≤k≤r 即A1(X)=B1(A) 推论1A(X)的标准形是唯一的 推论2设A()的行列式因子为:D1(),D2(入),,D(λ),0,,…,则 1)(1≤≤j≤T时,D1(A)D/( 2)D1(A),D2(A)/D1(),…,Dn(/Dn-1()为不变因子 定理3设A(A∈P[A],则A(入)可逆的充分必要条件是A(入)可表成初等矩阵的乘积 证由于初等矩阵是可逆矩阵,故A()若是初等矩阵的积,则必可逆 反之,若A()可逆,则由定理1.1知detA(入)为非零常数,故Dn(A(入)=1.于是由定理 2的推论2知Dk(A(入)=1,1≤k≤,d1(A)=1,1≤i≤n.因而A(入)~l,即有初 等矩阵P t使得 1()=P1…PLnQ B1…PsQ1…Qt 为初等矩阵之积 推论A(入),B(A)∈P[Am,则A()~B()当且仅当存在可逆的m阶方阵P(A),7 阶方阵Q(A)使得 B(A)=P(A)A()Q() 由等价定义及定理3知此结论成立
3 K1 + W W 5 BC Æ;* BC +,ZF W 8=Z &2h+i3]Z &#e;<"j K ;<&2 3 7;<j i&2 4 7 &2 K X + 091 3 K X mV + Z 5 ; < 8- ;< j BC . /.L&2 8- K<N ' X +YdVeN
6.3矩阵相似的条件 这节我们用多项式矩阵的方法来讨论Pn×n中矩阵相似的条件 定义1设A∈P.称MLn-A∈P以]为A的特征矩阵,ALn-A的不变因子为 A的不变因子,AIn-A的行列式因子为A的行列式因予 引理1设A∈PM,U(入),V(A∈P[A×n.则存在Q(,R()∈P]×n,U0,V0 ∈PM使得 U(入)=(AIn-A)Q()+ V(A)=R(入)(AL-A)+V U(X)=D0+m=D1+…+ADm-1+Dm,D∈PM 若m=0,则Q(A)=0,U0=D=U(入) 设7>0,令 Q(入)=Mm-(o+Mm=2Q1+…+ADm-2+Qm 其中Q1是待定的P×n中方阵于是 (ALn-A)Q(入) (Q1-AQ0) +=(Qk-A(k-1)+ 因而只要取 Q1=D,+AQo Q2=D2 +aQ, Qk= Dk+AQ Uo =Dm +ae, 就可以了.用类似的方法可求得R(入)与V 定理24,B∈P×n.则A与B相似当且仅当Al-A与MIn一B等价,即有相同不变 因子 证若A与B相似,则有T∈P×,T可逆使TAT=B.于是T-(ALn-AT AIn-B.由定理23的推论知AIn-A与λIn-B等价
Æno_pk `LM UV ]Z qD 8=Z 7$89 +,Z ?@89 . L 8- 7 Æ a l Z A3^ G& SF &f- . /. <N 5 $8= Z 7 &28 K X mV+ <N
反之,设AIn-A与Mn-B等价.由定理23的推论知,有可逆矩阵U(入),V(A)∈P[] 使得 AIn-A=u((nn-)v() 由引理1知有R()∈P,V∈PM使(2)成立再由(3)可得 U(A)-(In-A)=(AIn-B)(R()(In-A)+Vo) 即有 (U()-In- B)R(D(AIn -A)=(In-B) 比较上式两边的次数,可得 U(A)--(In-B)R() 因而有 U(入)T=In-U(X)(ALn-B)R(入) 又有Q(∈P[,U0∈PM使得(1)成立.于是 In U(T+U()(In-B)R() U(T+(AIn-AV(R() (In-A)Q()+Uo)T+(AIn- AV()R() UoT+(AIn -)(Q()T+VR() 比较两边的次数知 Q(T+V()-R(入)=0 UoT=I 即Uo可逆,且T=U∈P.再由(4)可知V=T.且A=T-1B.即A与B相似 推论1设A,B∈P.则A与B相似当且仅当A与B有相同的行列式因子 这是因为不变因子由行列式因子决定之故 推论2设A,B P,Q0∈PM.且 In-A= po(In-BQo 则Po,Qo可逆,且Qo=Po;A与B相似 比较入的系数即可 由定理3及其推论1知,下面定义是合理的 定义2设V是P上维线性空间.A∈EndV.ax1,a2,,an为V的基,称 201
4 <NK X mV+ &2 8- KcX + 8 eN0K &- 5 TU Cm &- Z ; 8- eN TUCm+ 5 &2 0K &+ 5 BC . /. $+,Z Z8=ZK+,Zn 3 BC &2 TU )5& K X amV + ?_ 'X rs0to ! p !