王三、可微的条件 庄定理函数(在点可微的充要条件是函 王数f(x)在点x处可导且A=f() 证(1)必要性∵∫(x)在点x可微 N=A+O(△x) 工工工 ∴Ay=A.△x+0(△x) △x △v 则im4y=A+lim 0(△x =A △x→>0△v △x→>0△x 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x 上页
三、可微的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在 点 处可导 且 = 定理 函 数 在 点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , f x 在点x0可微 y = A x + o(x), , ( ) x o x A x y = + x o x A x y x x = + → → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x0 即函数 f x 在点 x 可导 且A = f
(2)充分性函数f(x)在点x可导 △ =f(x0),即 △ △x→>0△ =f(x0)+, △x 从而y=f(x0)·△x+α·(△x),∵α>0(△x→0) =f(x0)·△+0(△x), 王“函数(在点可徽。且厂(5)=A 牛∴可导可微A=f(x 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或(x),即如=f(x)Ax 上页
(2) 充分性 ( ) ( ), 从而 y = f x0 x + x ( ) , = 0 + f x x y 即 ( ) , 函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x x y x = → → 0 (x → 0), ( ) ( ), = f x0 x + o x ( ) , ( ) . 函数 f x 在点 x0可微 且 f x0 = A . ( ). x0 可导 可微 A = f , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的
例1求函数y=x3当x=2,△=0.02时的微分 解∵d=(x)Ax=3x2△x 小2=3x2△cx2=0.24 Ar=0.02 Ax=0.02 午通常把自变量的增量△称为自变量的微分 记作,即x=△x y=∫'(x)dx 中y 女=f(x 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也吧微商 上页
例 1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = x = 时的微分 dy = (x )x 3 3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3 == = = = xx x dy x x x = 0 .24 . , . , dx dx x x x = 记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy = 该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于