平面方程 定义 如果某非零向量a与平面x内不共 线的两向量垂直,则称a垂直于x,记 作a⊥兀称垂直于平面的非零向量为该 平面的法向量 第五章
第五章 工 程 数 学 定义 二、平面方程 如果某非零向量 与平面 内不共 线的两向量垂直，则称 垂直于 ，记 作 ⊥, 称垂直于平面的非零向量为该 平面的法向量
思考: 几何上,哪些条件可确定一个平面呢? 过一点,与已知直线垂直的平面是唯一的 不在同一直线上的三点可确定一个平面 过定直线与直线外一点的平面是唯一的 B A C MO 第五章
第五章 工 程 数 学 过一点，与已知直线垂直的平面是唯一的. 不在同一直线上的三点可确定一个平面. 过定直线与直线外一点的平面是唯一的. 几何上，哪些条件可确定一个平面呢？ M • 0 l0 • • A • B C M • 0 l0 思考：
1.点法式方程 设M6xo,y2=0)为平面x上一点,它的 个法向量为n=(A,B,C.,则M6和m便唯 确定了平面丌下面来求x的方程 设M(x,y,z)为x上任意一点,则 MM(x-x02y-y0,-2),且MM⊥n 第五章
第五章 工 程 数 学 1. 点法式方程 设 M0 (x0 , y0 , z0 ) 为平面 上一点，它的 一个法向量为 n=(A, B, C), 则 M0 和 n 便唯一 确定了平面. 下面来求 的方程. 设 M(x, y, z) 为 上任意一点，则 M0M=(x−x0 , y −y0 , z −z0 )，且 M0M ⊥n
因为MM⊥n→MMn=0 A(x-x0)+B(-1y)+c(z-20)=0 所以,平面的方程为 A(x-x0)+B(-y0)+c(z-0=0(3) 称(3)为平面的点法式方程 第五章
第五章 工 程 数 学 A(x−x0 )+B(y−y0 )+c(z−z0 )=0 (3) 称(3)为平面的点法式方程. 因为 M0M⊥n M0Mn=0 所以, 平面的方程为 A(x−x0 )+B(y−y0 )+c(z−z0 )=0
2.平面的三点式方程 设平面丌由三点M1(x12y,z1), M2(x2,y2,22),M3(x3,y3,z3)确定,又设 M(x,y,z)为平面x上任意一点,则三向 量M1,M1M2,M1M共面,故 (M1M×M1M2)M1M3=0 第五章
第五章 工 程 数 学 2. 平面的三点式方程 设平面 由三点 M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ) 确定，又设 M(x, y, z)为平面上任意一点，则三向 量 M1M, M1M2 , M1M3共面，故 (M1 M M1 M2 ) M1 M3 = 0