(数学模型 微分方程
微 分 方 程
§1、微分方程稳定性理论简介 般方程 =F(t,x), (0) x1 (fi(t, x) 其中x=∈",f(t,x)=∈r Xn f (t,x)) 设(a,b)R,DCR,当F(t,x)在(a,b)×D连续, 且关于x有连续的一阶偏导数时,对任意 (to,xo)∈(a,b)×D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲 线)x=(tto,)满足x(to)=xo
2 一般方程 1 , n n x x R x 1 ( , ) ( , ) . ( , ) n n f t x F t x R f t x 其中 x F(t, x), (0) §1、微分方程稳定性理论简介
(数学模型 当方程组(0)的右端不显含t时,即 x=f(x), 称(1)为自治微分方程组(自治系统),R"称为相空间 方程组(1)在相空间中确定了一个速度场,f(x) 表示点x处速度的第个分量。φ(t;t0,x)是速度场中 的一个运动,这一表达式给出了动点在运动时的路 线,称为轨线。轨线也可理解为x=p(;t0,x0)在相空 间的投影
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(数学模型 定义1若存在x∈R使得F(x*)=0,则称x*是 方程组(1)的平衡点(或奇点)。x=x称为平衡解。 定义2设x*=(x1*,…,x)是方程组(1)的平 衡点,x=x(t)=(x1(1),,xn(t)是方程组(1)的任 解,如果存在κ*的某邻域U(x*),使得当 x(to)∈U(x)时,必有limx;(t)=x;(=1,…,n), 则称x是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定);否 则,称x*是不稳定的(非渐进稳定的)
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(数学模型 判定平衡点稳定性的两种方法 (1)间接法求出解的表达式,再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。 (2)直接法不求解,直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性
5 判定平衡点稳定性的两种方法： (1) 间接法——求出解的表达式，再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。 (2) 直接法——不求解，直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性