江画工太猩院 例4设x4-x+y4=1,求y在点(0,)处的值 解方程两边对x求导得 4x3-y-xy+4yy'=0 代入x=0,y=1得yx=0 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy+12y(y)+4yy"=0 代入x=0,y=,y=1=得y"-=1 16
江西理工大学理学院 例4 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y′′在点 处的值 解 方程两边对 x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy′ + y y′ = 代入 x = 0, y = 1得 ; 41 1 ′ 0 = ==yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y′ − xy′′ + y y′ + y y′′ = 得41 1 ′ 0 = ==yx 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 ′′ 0 = − ==yx y
例5设方程y=1+x2所确定的隐函数升 求 d"y d x 解方程两边对x求导,得y=e"+xl'y( (1)式两边再对x求导,注意到y也是x的函数,得 y”=e"∵y+ey'+x·e"(y)2+x:e 所以 2e.y+xe(y) 1 -xe. 由①式得y 1-xe 2(e")2(1-xe")+x(e ,)32e+xe (1-xe)o (1-xe")3
江西理工大学理学院 例5 . 1 ( ), 2 2 dx d y y xe y y x y 求 设方程 = + 所确定的隐函数 = 解 方程两边对 x求导,得 y e xe y (1) y y ′ = + ⋅ ′ ( ) , 2 y e y e y x e y x e y y y y y ′′ = ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅ ⋅ ′ + ⋅ ⋅ ′′ y y y xe e y xe y y − ⋅ ′ + ⋅ ′ ′′ = 1 2 ( )2 所以 3 2 3 3 2 3 (1 ) 2 (1 ) 2( ) (1 ) ( ) y y y y y y y xe e xe xe e xe x e y − + = − − + ∴ ′′ = y y xe e y − ′ = 1 由（1）式得 (1)式两边再对 x求导,注意到 y′也是x的函数，得
江画工太猩院 二、对数求导法 观察函数y=(x+1,3x-1 sInX y=x (x+4)2e2 方法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数(x)y的情形
江西理工大学理学院 二、对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 23 x x y x x e x x y = + + ⋅ − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v ( x )的情形
江画工太猩院 例6设y=(x+1)x-1 求 (x+4)e 解等式两边取对数得 In y=In(x+1)+In(x-1)-2In(x +4)=x 上式两边对x求导得 2 + yx+13(x-1)x+4 x+1)x (x+4)2e2x+13(x-1)x+4
江西理工大学理学院 例6 解 1] 4 2 3( 1) 1 1 1 [ ( 4) ( 1) 1 2 3 − + − − + + + + − ∴ ′ = x e x x x x x y x 等式两边取对数得 y = x + + ln( x − 1) − 2ln( x + 4) − x 31 ln ln( 1) 上式两边对 x求导得 1 4 2 3( 1) 1 1 1 − + − − + + = ′ y x x x y , . ( 4) ( 1) 1 2 3 y x e x x y x ′ + + ⋅ − 设 = 求
江画工太猩院 例7设y=x(x>0),求y 解等式两边取对数得my= e sinx. nx 上式两边对x求导得 y=c0s·nx+sinx ∴y= y(cosx·nx+sinx sIn x x(cos. Inx+
江西理工大学理学院 例7 解 ( 0), . sin y x x y x 设 = > 求 ′ 等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x 上式两边对x求导得 x y x x x y 1 cos ln sin 1 ′ = ⋅ + ⋅ ) 1 (cos ln sin x ∴ y′ = y x ⋅ x + x ⋅ ) sin (cos ln sin x x x x x x = ⋅ +