(2)若M≠m,而(a)=f(b) 则数M与m中至少有一个不等于端的数值,不妨 设M≠f(a),从而在区间(a,b内至少存在一点, 使得f(5)=M 下面证明f(2)=0 因为vx∈[a,bf(x)≤f(4)从而由费马引理可知 f(4)=0. 定理证毕
6 (2) 若M m，而f (a) = f (b) ( ) . ( ) ( , ) f M M f a a b M m = 使 得 设 ，从而在区间 内至少存在一点 ， 则 数 与 中至少有一个不等于端点的数值，不妨 下面证明 f ( ) = 0. 因为x[a,b]，f (x) f ( )，从而由费马引理可知， f ( ) = 0. 定理证毕
注罗尔定理研究的是导函数方程f(x)=0的根 的存在性问题.罗尔定理是定性的结果,它只肯定 了至少存在一个s,而不能确定S的个数,也没有 指出实际计算S的值的方法.但对某些简单情形, 可从方程中解出
7 注. 罗尔定理研究的是导函数方程 的根 的存在性问题. 罗尔定理是定性的结果, 它只肯定 了至少存在一个 ξ , 而不能确定ξ 的个数, 也没有 指出实际计算 ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出 ξ . f (x) = 0
例1证明方程x5-5+1=0有且仅有一个小于 1的正实根 证:(1)存在性 设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在闭区间0,1上连续, 且f(0)=1,f(1)=-3 由介值定理,彐x0∈(0,1),使得(x0)=0 即为方程的小的正实根
8 例 1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证： ( 1 ) 存在性 (0) 1 (1) 3. ( ) 5 1 ( ) [0,1] 5 = = − = − + f f f x x x f x 且 ， 设 ， 则 在闭区间 上连续， (0,1) ( ) 0. 由介值定理，x0 ，使得f x0 = 即为方程的小于1的正实根