第3章集合 根据定理3.1.1，空集是任意集合的子集，即⑦cA;对 任意集合A,AcA。一般地说，任意集合A至少有两个子 集，一个是空集⑦，另一个是它本身A。 推论空集是惟一的。 证明：设有两个空集01和02，由定理3.1.1有01三☑2 和☑2二01，根据集合相等的定义知，☑=②2
第3章 集合 根据定理3.1.1，空集是任意集合的子集，即A；对 任意集合A，AA。一般地说，任意集合A至少有两个子 集，一个是空集，另一个是它本身A。 推论 空集是惟一的。 证明：设有两个空集1和2，由定理3.1.1有12 和21，根据集合相等的定义知，1 =2
第3章集合 3.1.3幂集合 定义3.1.5设A是集合，A的所有子集构成的集合称为 A的幂集合，记为P(A),即 P(A)=SISCA 【例3.1】设Aa,b,c},O是空集，试求 P(A),P(P()). 解：P(A)=a,{a,b,c,{a,b,a,c,b,c,a,b,c} P(☑)=10} P(P(O))=@
第3章 集合 3.1.3幂集合 定义3.1.5 设A是集合，A的所有子集构成的集合称为 A的幂集合，记为P (A)，即 P (A) =S | SA 【例3.1】设A=a,b,c，是空集，试求 P (A)，P (P ())。 解：P (A)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c P ()= P (P ()) = ,
第3章集合 定理3.1.2设A为有限集合，则P(A)=24 证明：设4n,A的子集有： 不含元素的子集)一个，即C0个。 含一个元素的子集n个，即C)个。 含两个元素的子集C?个。 ●。●●●● 含n个元素的子集C”个。 1P(40FC9+C,+…+C7=2m=24 在例3.1中， A=3,|P(A)=8=23=24 ☑=0,1P(☑)=1=20=2☑ |P(O)=1,|P(P(O)=2=21=2P(@1
第3章 集合 定理3.1.2 设A为有限集合，则|P (A)|=2|A| 证明: 设|A|=n，A的子集有： 不含元素的子集一个，即 个。 含一个元素的子集n个，即 个。 含两个元素的子集 个。 …… 含n个元素的子集 个。 |P (A)|= + + … + =2n=2|A| 在例3.1中， |A|=3，|P (A)|=8=23 =2|A| ||=0，|P ()|=1=20 =2|| |P ()|=1，| P (P ())|=2=21 =2|P ()| 0 Cn 1 Cn 2 Cn n Cn 0 Cn 1 Cn n Cn
第3章集合 定义3.1.6在一个具体问题中，如果所涉及的集合都 是某个集合的子集，则称这个集合为全集。记为E。 全集是相对的，不同的问题有不同的全集。即使是同 问题也可以取不同的全集。 集合的另一种表示法是文氏图(Venn Diagram)。人 们常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。集合的文 氏图画法如下： 用矩形表示全集E,在矩形中画 E 些圆表示其它集合，不同的圆代表不同 B 的集合。如果没有特别说明，任何两个 圆彼此相交。例如，AcB的文氏图如图 3.1所示。 图3.1 返回章目录
第3章 集合 定义3.1.6 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都 是某个集合的子集，则称这个集合为全集。记为E。 全集是相对的，不同的问题有不同的全集。即使是同 一问题也可以取不同的全集。 集合的另一种表示法是文氏图（Venn Diagram）。人 们常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。集合的文 氏图画法如下： 用矩形表示全集E，在矩形中画一 些圆表示其它集合，不同的圆代表不同 的集合。如果没有特别说明，任何两个 圆彼此相交。例如，AB的文氏图如图 3.1所示。 返回章目录
第3章集合 3.2集合的运算 定义3.2.1设A,B是任意的集合，由A中的元素或B中 的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为AUB。 AUB=xlK∈AVx∈BY 并集的定义如图3.2所示。 从并集的定义可以得到： E ACAUB,BCAUB 图3.2
第3章 集合 3.2集合的运算 定义3.2.1 设A，B是任意的集合，由A中的元素或B中 的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为A∪B。 A∪B=x |xA∨xB 并集的定义如图3.2所示。 从并集的定义可以得到： AA∪B，BA∪B