全程设计 微专题 直线与圆锥曲线的综合问题
微专题 直线与圆锥曲线的综合问题
导航 圆锥曲线中的弦长与面积问题 【典型例题1】己知P为椭圆器+兰1a>60,上任意一 点，Fi,F为椭圆的焦点，且PFI+PF:4,离心率为受
导航 一 圆锥曲线中的弦长与面积问题 【典型例题 1】已知 P 为椭圆 𝒙 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒃 𝟐 =1(a>b>0)上任意一 点,F1,F2为椭圆的焦点,且|PF1|+|PF2|=4,离心率为 𝟐𝟐
导航 ()求椭圆的方程； (2)若直线：y=x+(0)与椭圆的两交点分别为A,B,线段 AB的中点C在直线y=式上，O为坐标原点，当三角形OAB的 面积等于v2时，求直线1的方程
导航 (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆的两交点分别为A,B,线段 AB 的中点 C 在直线 y= 𝟏 𝟐 x 上,O 为坐标原点,当三角形 OAB 的 面积等于 𝟐时,求直线 l 的方程
导航 解：()由精圆的定义，得2a4,-2因为后=受所以V2,则 62,故指圆的方程为号+兰1 y=kx +m, (2)设A(1y1),B(2y2),联立 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0.(*) 则x1+x2= 4km 2m2.4 1+2k2c1w2 1+2k2
导航 解:(1)由椭圆的定义,得 2a=4,a=2.因为𝒄 𝒂 = 𝟐 𝟐 ,所以 c= 𝟐,则 b 2 =a2 -c 2 =2,故椭圆的方程为𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 𝟐 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒎, 𝒙 𝟐 𝟒 + 𝒚 𝟐 𝟐 = 𝟏, 得(1+2k 2 )x 2 +4kmx+2m2 -4=0.(*) 则 x1+x2=- 𝟒𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 ,x1x2= 𝟐𝒎𝟐-𝟒 𝟏+𝟐𝒌 𝟐
导航 设Cco,则xc7生2= -2km 2 +2k2 yc=kxc+m= m 1+2k2 因为点C在直线之上， 所以2 1-2km 2 1+2k2 解得k=-1, 于是()变为3x2-4x+22-4=0
导航 设 C(xC,yC),则 xC= 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝟐 = -𝟐𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , yC=kxC+m= 𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , 因为点 C 在直线 y= 𝟏 𝟐 x 上, 所以 𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 = 𝟏 𝟐 · -𝟐𝒌𝒎 𝟏+𝟐𝒌 𝟐 , 解得k=-1, 于是(*)变为3x 2 -4mx+2m2 -4=0